ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1295 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1295 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 2 ΔΕΥΤΕΡΟΥ

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού,
6.1 Η έννοια της συνάρτησης.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Πρέπει:

$x - 4 \neq 0 \Leftrightarrow \neq 4$

Άρα το πεδίο ορισμού της $f$ είναι το $\mathbb{A} = \mathbb{R} - \{4\}.$
Ο τύπος της $f$ μετά τις σχετικές παραγοντοποιήσεις και απλουστεύεσεις γράφεται:

$\begin{align*} f(x) = & ~\dfrac{x^3 - 16x}{x - 4} \Leftrightarrow \\\\ f(x) = &\dfrac{x(x^2 - 16)}{x - 4} \Leftrightarrow \\ f(x) = & ~\dfrac{x(x - 4)(x + 4)}{x - 4} \Leftrightarrow \\ f(x) = & x(x + 4) \Leftrightarrow \\ f(x) = & ~x^2 + 4x \end{align*}$

\2.) Είναι:

$f(x) = 32 \Leftrightarrow x^2 + 4x = 32 \Leftrightarrow x^2 + 4x - 32 = 0$

Το τριώνυμο έχει $\alpha = 1, ~\beta = 4, ~\gamma = -32$ και διακρίνουσα:

$\Delta = \beta^2 - 4 \alpha \gamma = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 - 128 = 144 > 0$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$x_{1, 2} = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} = \dfrac{-4 \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-4 \pm 12}{2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{-4 + 12}{2} = 4\\[5mm] \dfrac{-4 - 12}{2} = -8 \end{array}\right.$