ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1279 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 2 ΔΕΥΤΕΡΟΥ
2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών,
4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού.
Λύση
1.) Το τριώνυμο 
έχει 
και διακρίνουσα:
![\[\Delta = \beta^2 - 4 \alpha \gamma = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4 > 0\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e018f9ca3d408866b4018c4d75a6cb6e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:
![\[x_{1, 2} = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \dfrac{4 \pm 2}{6} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{4 + 2}{6} = 1\\[5mm] \dfrac{4 - 2}{6} = \dfrac{1}{3} \end{array}\right.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-84326649d3acb6f2c8168be1d20ef55e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.
Επομένως ισχύει:
![\[3x^2 - 4x + 1 \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} \leq x \leq 1 \Leftrightarrow x \in \bigg[\dfrac{1}{3}, 1\bigg]\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0af4a9bd6455ba738dfda6277aba7610_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2.) Αφού οι αριθμοί 
είναι λύσεις της παραπάνω ανίσωσης ισχύει ότι:
![\[\alpha \in \bigg[\dfrac{1}{3}, 1\bigg] \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} \leq \alpha \leq 1\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8b42415a523bae31ce255e13db336cef_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
και
![\[\beta \in \bigg[\dfrac{1}{3}, 1\bigg] \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} \leq \beta \leq 1\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b0ce0bc03bfb4d22c45aefbd8d671c63_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Τότε:
![\[\dfrac{1}{3} \leq \alpha \leq 1 \Leftrightarrow 1 \leq 3\alpha \leq 3 \quad (1)\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-627b014397814ed2ebcba5f34195d9f5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
και
![\[\dfrac{1}{3} \leq \beta \leq 1 \Leftrightarrow 2 \leq 6\beta \leq 6 \quad (2)\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e5de0644a91a09fb44e1575d8f65632f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισώσεις (1) και (2) και βρίσκουμε:
![\begin{align*} & ~1 + 2 \leq 3\alpha + 6\beta \leq 3 + 6 \Leftrightarrow \\ & ~3 \leq 3\alpha + 6\beta \leq 9 \Leftrightarrow \\[3mm] & ~\dfrac{3}{9} \leq \dfrac{3\alpha + 6\beta}{9} \leq \dfrac{9}{9} \Leftrightarrow \\[3mm] & ~\dfrac{1}{3} \leq \dfrac{3\alpha + 6\beta}{9} \leq 1 \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0879fe551594713f716c4ce5f1216a58_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Άρα και ο αριθμός 
είναι λύση της ανίσωσης.
Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .