ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1269 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 2 ΔΕΥΤΕΡΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Για $\alpha = 2, ~\beta = 5$ και $\gamma = -1,$ βρίσκουμε:

$\Delta = \beta^2 - 4 \alpha \gamma = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 25 + 8 = 33 > 0$

Άρα η εξίσωση έχει δύο ρίζες, $x_1$ και $x_2,$ πραγματικές και άνισες.
2.) Με τη βοήθεια των τύπων του \textlatin{Vieta} βρίσκουμε:

$\begin{align*} & ~x_1 + x_2 = -\dfrac{\beta}{\alpha} = - \dfrac{5}{2} \\[3mm] & ~x_1 \cdot x_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha} = - \dfrac{1}{2} \\[3mm] & ~\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2} = \dfrac{-\frac{5}{2}}{-\frac{1}{2}} = 5 \end{align*}$

3.) Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής:

$x^2 - S x + P = 0$

με

$\begin{align*} &S = \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} \xLeftrightarrow{2.)} S = 5 \\\\ &P = \dfrac{1}{x_1} \cdot \dfrac{1}{x_2} \xLeftrightarrow{2.)} P = \dfrac{1}{-\frac{1}{2}} \Leftrightarrow P = -2 \end{align*}$

Τελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$x^2 - 5x - 2 = 0$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1269 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά