ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1519 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1519 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

5.3 Γεωμετρική πρόοδος.

Rendered by QuickLaTeX.com


Λύση

1.) Είναι:

    \begin{eqnarray*} \alpha_3 = 4 &\Leftrightarrow& \alpha_1 \lambda^{3 - 1} = 4 \\ &\Leftrightarrow& \alpha_1\lambda^2 = 4 ~(1) \end{eqnarray*}

και

    \begin{eqnarray*} \alpha_5 = 16 &\Leftrightarrow& \alpha_1 \lambda^{5 - 1} = 16 \\ &\Leftrightarrow& \alpha_1\lambda^4 = 16 ~(2) \end{eqnarray*}

Διαιρούμε κατά μέλη τις σχέσεις (1) και (2) και βρίσκουμε:

    \begin{eqnarray*} \dfrac{\alpha_1 \lambda^4}{\alpha_1 \lambda^2} = \dfrac{16}{4} &\Leftrightarrow& \lambda^2 = 4 \\ &\xLeftrightarrow{(\lambda > 0)}& \lambda = 2 \end{eqnarray*}

Αντικαθιστούμε στη σχέση (1) και βρίσκουμε:

    \begin{eqnarray*} \alpha_1 \cdot 2^2 = 4 &\Leftrightarrow& \alpha_1 \cdot 4 = 4 \\ &\Leftrightarrow& \alpha_1 = 1 \end{eqnarray*}

2.) Ισχύει ότι:

    \begin{eqnarray*} \dfrac{\beta_{\nu + 1}}{\beta_{\nu}} &=& \dfrac{\frac{1}{\alpha_{\nu + 1}}}{\frac{1}{\alpha_{\nu}}} \\\\\\ &=& \dfrac{\alpha_{\nu}}{\alpha_{\nu + 1}} \\\\\\ &=& \dfrac{\alpha_1 \lambda^{\nu - 1}}{\alpha_1 \lambda^{\nu + 1 - 1}} \\\\\\ &=& \dfrac{\alpha_1 \lambda^{\nu} \lambda^{-1}}{\alpha_1 \lambda^{\nu}} \\\\\\ &=& \lambda^{-1} = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{2} \end{eqnarray*}

Επομένως η (\beta_{\nu}) είναι γεωμετρική πρόοδος με πρώτο όρο \beta_1 = \dfrac{1}{\alpha_1} = 1 και λόγο \lambda' = \dfrac{1}{2}

3.) Είναι:

    \begin{eqnarray*} S_{10} &=& \alpha_1 \dfrac{\lambda^{10} - 1}{\lambda - 1} \\\\ &=& 1 \cdot \dfrac{2^{10} - 1}{2 - 1} \\\\ &=& 2^{10} - 1 ~(3) \end{eqnarray*}

και

    \begin{eqnarray*} S'_{10} &=& \beta_1 \dfrac{(\lambda')^{10} - 1}{\lambda' - 1} \\\\ &=& 1 \cdot \dfrac{\big(\frac{1}{2}\big)^{10} - 1}{\frac{1}{2} - 1} \\\\ &=& \dfrac{\frac{1}{2^{10}} - 1}{-\frac{1}{2}} \\\\ &=& \dfrac{\frac{1 - 2^{10}}{2^{10}}}{-\frac{1}{2}} \\\\ &=& \dfrac{2(2^{10} - 1)}{2^{10}} \\\\ &=& \dfrac{2^{10} - 1}{2^9} \\\\ &=& \dfrac{1}{2^9}(2^{10} - 1) \\\\ &=& \dfrac{1}{2^9}S_{10} \end{eqnarray*}

λόγω της (3).

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *