ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1515 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1515 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών.

2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com


Λύση

1.) Επειδή (\alpha - 1)(1 - \beta) > 0, θα ισχύει:

    \begin{eqnarray*} (\alpha - 1 > 0 ~\text{και} ~1 - \beta > 0) ~\text{ή} ~(\alpha - 1 < 0 ~\text{και} ~1 - \beta < 0) \end{eqnarray*}

1^{\text{η}} περίπτωση

    \begin{eqnarray*} \alpha - 1 > 0 ~\text{και} ~1 - \beta > 0 &\Leftrightarrow& \alpha > 1 ~\text{και} ~1 > \beta \\ &\Leftrightarrow& \beta < 1 < \alpha \end{eqnarray*}

2^{\text{η}} περίπτωση

    \begin{eqnarray*} \alpha - 1 < 0 ~\text{και} ~1 - \beta < 0 &\Leftrightarrow& \alpha < 1 ~\text{και} ~1 < \beta \\ &\Leftrightarrow& \alpha < 1 < \beta \end{eqnarray*}

Επομένως, σε κάθε περίπτωση το 1 είναι μεταξύ των \alpha και \beta.

2)
Αλγεβρικά

Αν \color{red}  \beta < 1 < \alpha, τότε:

    \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{ll} \beta < 1 \\ 1 < \alpha \\ \beta < \alpha \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} 0 < 1 - \beta \\ 0 < \alpha - 1 \\ \beta - \alpha < 0 \end{array}\right. \end{eqnarray*}

Επομένως:

    \begin{eqnarray*} |\alpha - 1| &=& \alpha - 1 \\ |1 - \beta| &=& 1 - \beta \end{eqnarray*}

και

    \begin{eqnarray*} |\beta - \alpha| = 4 &\Leftrightarrow& -(\beta - \alpha) = 4 \\ &\Leftrightarrow& \alpha - \beta = 4 ~(1) \end{eqnarray*}

Η παράσταση Κ γράφεται:

    \begin{eqnarray*} K &=& |\alpha - 1| + |1 - \beta| \\ &=& \alpha - 1 + 1 - \beta \\ &=& \alpha - \beta \stackrel{(1)}{=} 4 \end{eqnarray*}

Αν \color{red}  \alpha < 1 < \beta, τότε:

    \begin{eqnarray*} \left\{\begin{array}{ll} \alpha < 1 \\ 1 < \beta \\ \alpha < \beta \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} \alpha - 1 < 0 \\ 1 - \beta < 0 \\ 0 < \beta - \alpha \end{array}\right. \end{eqnarray*}

Επομένως:

    \begin{eqnarray*} |\alpha - 1| &=& -(\alpha - 1) = 1 - \alpha \\ |1 - \beta| &=& -(1 - \beta) = \beta - 1 \end{eqnarray*}

και

    \begin{eqnarray*} |\beta - \alpha| = 4 &\Leftrightarrow& \beta - \alpha = 4 ~(2) \end{eqnarray*}

Η παράσταση Κ γράφεται:

    \begin{eqnarray*} K &=& |\alpha - 1| + |1 - \beta| \\ &=& 1 - \alpha + \beta -1 \\ &=& \beta - \alpha \stackrel{(2)}{=} 4 \end{eqnarray*}

Γεωμετρικά

Έστω Α(\alpha), B(\beta) και \Gamma(1) όπου το \Gamma βρίσκεται μεταξύ των Α και Β. Τότε:

    \begin{eqnarray*} K &=& |\alpha - 1| + |1 -\beta| \\ &=& d(\alpha, 1) + d(1, \beta) \\ &=& A\Gamma + \Gamma B \\ &=& AB = d(\alpha, \beta) \\ &=& |\beta - \alpha| = 4 \end{eqnarray*}

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *