ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1516 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1516 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το τριώνυμο $3x^2 - 14x + 8$ έχει $\alpha = 3, ~\beta = -14, ~\gamma = 8$ και διακρίνουσα:

$\begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4 \alpha\gamma \\ &=& (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 \\ &=& 196 - 96 \\ &=& 100 > 0 \end{eqnarray*}$

Άρα η εξίσωση $(1)$ έχει ρίζες τις:

$\begin{eqnarray*} x_{1, 2} &=& \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \\ &=& \dfrac{-(-14) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} \\ &=& \dfrac{14 \pm 10}{6} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{14 + 10}{6} = \dfrac{3}{2} \\[5mm] \dfrac{14 - 10}{6} = \dfrac{1}{4} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

2.) Ο αριθμός $\rho$ είναι ρίζα της εξίσωσης $(3)$ αν και μόνο αν την επαληθεύει, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει: $\alpha \rho^2 + \beta \rho + \gamma = 0 ~(5).$

2α.) Έστω ότι $\rho = 0,$ τότε:

$\begin{eqnarray*} (5) &\Leftrightarrow& \alpha \cdot 0^2 + \beta \cdot 0 + \gamma = 0 \\ &\Leftrightarrow& \gamma = 0 \end{eqnarray*}$

άτοπο, αφού $\alpha \gamma \neq 0.$ Άρα $\rho \neq 0.$

2β.) Ο αριθμός $\dfrac{1}{\rho}$ επαληθεύει την εξίσωση $(4)$ αν και μόνο αν:

$\begin{eqnarray*} \gamma \bigg(\dfrac{1}{\rho}\bigg)^2 + \beta \dfrac{1}{\rho} + \alpha = 0 &\Leftrightarrow& \gamma \dfrac{1}{\rho^2} +\beta \dfrac{1}{\rho} + \alpha = 0 \\ &\xLeftrightarrow{(\rho \neq 0)}& \gamma + \beta \rho + \alpha \rho^2 = 0 \\ &\Leftrightarrow& \alpha \rho^2 + \beta \rho + \gamma = 0 \end{eqnarray*}$

που ισχύει λόγω της ισότητας $(5).$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1516 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά