Α Λυκείου / ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 4

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1508 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1508 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού,
3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το τριώνυμο x^2 - 2x + \lambda έχει \alpha = 1, ~\beta = -2, ~\gamma = \lambda και διακρίνουσα:

    \begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \lambda \\ &=& 4 - 4\lambda \end{eqnarray*}

Η δοθείσα εξίσωση έχει δύο ρίζες διαφορετικές μεταξύ τους αν και μόνο αν:

    \begin{eqnarray*} \Delta > 0 &\Leftrightarrow& 4 - 4\lambda > 0 \\ &\Leftrightarrow& -4\lambda > -4 \\ &\Leftrightarrow& \lambda < 1 \end{eqnarray*}

το οποίο ισχύει από υπόθεση.

2.) Από τους τύπους Vieta βρίσκουμε:
S = x_1 + x_2 = -\dfrac{\beta}{\alpha} = - \dfrac{-2}{1} = 2
δηλαδη:

    \[\color{red} x_{1}+x_{2}=2. ~(1)\]

3.)

3a.) Ισοδύναμα και διαδοχικά βρίσκουμε:

    \begin{align*} &|x_1 - 2| = |x_2 + 2| \Leftrightarrow \\\\ & x_1 -2 = x_2 + 2 \quad \text{ή} \quad x_1 - 2 = -(x_2 + 2) \Leftrightarrow \\\\ & x_1 -x_2 = 2 + 2 \quad \text{ή} \quad x_1 - 2 = -x_2 - 2 \Leftrightarrow \\\\ & x_1 -x_2 = 4 \quad \text{ή} \quad x_1+ -x_2 = 2- 2 \Leftrightarrow \\\\ & x_1 - x_2 = 4 ~\text{ή} ~x_1 + x_2 = 0, ~\text{απορρίπτεται λόγω του} ~$\color{red}(1.)$ \Leftrightarrow\\\\ & x_1 - x_2 = 4 ~(2) \end{align*}

3b.) προσθέτουμε κατά μέλη τις ισότητες (1) και (2) και βρίσκουμε:

    \begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + x_1 - x_2 = 2 + 4 &\Leftrightarrow& 2x_1 = 6 \\ &\Leftrightarrow& x_1 = 3 \end{eqnarray*}

Αντικαθιστούμε στην ισότητα (1) και βρίσκουμε: 3 +x_2 = 2 \Leftrightarrow x_2 = -1. Επίσης, από τους τύπους Vieta βρίσκουμε:

    \begin{eqnarray*} P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha} &\Leftrightarrow& 3 \cdot (-1) = \dfrac{\lambda}{1} \\ &\Leftrightarrow& \lambda = -3 \end{eqnarray*}

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *