Α Λυκείου / ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 4

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1495 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1495 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού,
4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού,
6.1 Η έννοια της συνάρτησης.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Ισχύει ότι: x + y = 10 \Leftrightarrow y = 10 - x ~(1). Πρέπει x > 0 και y > 0. Τότε:

    \begin{eqnarray*} y > 0 &\xLeftrightarrow{(1)}& 10 - x > 0 \\ &\Leftrightarrow& x < 10 \end{eqnarray*}

Άρα 0 < x < 10 \Leftrightarrow x \in (0, 10). Το εμβαδόν ενός τριγώνου με μήκη πλευρών x και y υπολογίζεται από τον τύπο:

    \begin{eqnarray*} E(x) = \dfrac{1}{2}xy &\xLeftrightarrow{(1)}& E(x) = \dfrac{1}{2}x(10 - x) \\ &\Leftrightarrow& E(x) = \dfrac{1}{2}(10 x - x^2), ~x \in (0, 10) \end{eqnarray*}

2.) Ισοδύναμα και διαδοχικά βρίσκουμε:

    \begin{eqnarray*} E(x) \leq \dfrac{25}{2} &\Leftrightarrow& \dfrac{1}{2}(10 x - x^2) \leq \dfrac{25}{2} \\ &\Leftrightarrow& 10x - x^2 \leq 25 \\ &\Leftrightarrow& x^2 - 10x + 25 \geq 0 \\ &\Leftrightarrow& (x - 5)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}

ισχύει για κάθε x \in (0, 10).

3.) Είναι:

    \begin{eqnarray*} E(x) = \dfrac{25}{2} &\Leftrightarrow& \dfrac{1}{2} (10x - x^2) = \dfrac{25}{2} \\ &\Leftrightarrow& 10x - x^2 = 25 \\ &\Leftrightarrow& x^2 - 10x + 25 = 0 \\ &\Leftrightarrow& (x - 5)^2 = 0 \\ &\Leftrightarrow& x - 5 = 0 \\ &\Leftrightarrow& x = 5 \end{eqnarray*}

Επομένως για x = 5 το εμβαδόν γίνεται μέγιστο.
Για x = 5 η σχέση (1) δίνει: y = 10 - 5 = 5. Στην περίπτωη αυτή το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *