ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1491 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1491 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ
Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού,

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το τριώνυμο x^2 - 5\lambda x - 1 έχει \alpha = 1, ~\beta = -5\lambda, ~\gamma = -1 και διακρίνουσα:

    \begin{eqnarray*} 	\Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ 	&=& (-5\lambda)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) \\ 	&=& 25\lambda^2 + 4 	\end{eqnarray*}

Επειδή για κάθε \lambda \in \mathbb{R} ισχύει \Delta = 25\lambda^2 + 4 > 0 η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
2.) Από τους τύπους Vieta βρίσκουμε:

    \[S = x_1 + x_2 = -\dfrac{\beta}{\alpha} = -\dfrac{-5\lambda}{1} = 5\lambda\]

και

    \[P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha} = \dfrac{-1}{1} = -1\]

2α.) Τότε:

    \[(x_1 + x_2)^2 - 18 -7(x_1 x_2)^{24} = 0 \Leftrightarrow\]

    \[(5\lambda)^2 - 18 - 7(-1)^{24} = 0 \Leftrightarrow\]

    \[25\lambda^2 - 18 - 7 \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow\]

    \[25\lambda^2 = 25 \Leftrightarrow\]

    \[\lambda^2 = 1 \Leftrightarrow\]

    \[(\lambda = 1 ~\text{ή} ~\lambda = -1)\]

2β.)Για \lambda = 1 είναι:
S = x_1 + x_2 = 5 και P = x_1 x_2 = -1. Τότε:

    \[x_1^2x_2 - 3x_1 + 4 -3x_2 + x_1 x_2^2 =\]

    \[x_1 x_2 (x_1 + x_2) - 3(x_1 + x_2) + 4 =\]

    \[-1 \cdot 5 - 3 \cdot 5 + 4 = - 16\]

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *