ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1493 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1493 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού,
4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού,

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Από τους τύπους Vieta βρίσκουμε:

    \[S = x_1 + x_2 = -\dfrac{\beta}{\alpha} = - \dfrac{-2}{1} = 2\]

και

    \[P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha} = \dfrac{\lambda(2 -2\lambda)}{1} = \lambda(2 - \lambda)\]

1a.) Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι:

    \[\Pi = 2x_1 + 2x_2 = 2(x_1 + x_2) = 2 \cdot 2 = 4\]

1b.) Το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου είναι:

    \[E = x_1 \cdot x_2 = \lambda (2 - \lambda)\]

2.) Ισοδύναμα και διαδοχικά βρίσκουμε:

    \begin{eqnarray*} E \leq 1 &\Leftrightarrow& \lambda (2 - \lambda) \leq 1 \\ &\Leftrightarrow& 2\lambda - \lambda^2 \leq 1 \\ &\Leftrightarrow& \lambda^2 - 2\lambda + 1 \\ &\Leftrightarrow& (\lambda - 1)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}

το οποίο ισχύει για κάθε \lambda \in (0, 2).

3.) Είναι:

    \begin{eqnarray*} Ε = 1 &\Leftrightarrow& \lambda (2 - \lambda) = 1 \\ &\Leftrightarrow& 2\lambda - \lambda^2 = 1 \\ &\Leftrightarrow& \lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0 \\ &\Leftrightarrow& (\lambda - 1)^2 = 0 \\ &\Leftrightarrow& \lambda -1 = 0 \\ &\Leftrightarrow& \lambda = 1 \end{eqnarray*}

Για \lambda = 1 η εξίσωση γίνεται:

    \begin{eqnarray*} x^2 - 2x + 1 = 0 &\Leftrightarrow& (x - 1)^2 = 0 \\ &\Leftrightarrow& x - 1 = 0 \\ &\Leftrightarrow& x = 1 \end{eqnarray*}

Στην περίπτωση αυτή είναι x_1=x_2 = 1 οπότε το ορθογώνιο είναι τετράγωνο.

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *