ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1491 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1491 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ
Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού,

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το τριώνυμο $x^2 - 5\lambda x - 1$ έχει $\alpha = 1, ~\beta = -5\lambda, ~\gamma = -1$ και διακρίνουσα:

$\begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& (-5\lambda)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) \\ &=& 25\lambda^2 + 4 \end{eqnarray*}$

Επειδή για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$ ισχύει $\Delta = 25\lambda^2 + 4 > 0$ η εξίσωση $(1)$ έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
2.) Από τους τύπους Vieta βρίσκουμε:

$S = x_1 + x_2 = -\dfrac{\beta}{\alpha} = -\dfrac{-5\lambda}{1} = 5\lambda$

και

$P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha} = \dfrac{-1}{1} = -1$

2α.) Τότε:

$(x_1 + x_2)^2 - 18 -7(x_1 x_2)^{24} = 0 \Leftrightarrow$

$(5\lambda)^2 - 18 - 7(-1)^{24} = 0 \Leftrightarrow$

$25\lambda^2 - 18 - 7 \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow$

$25\lambda^2 = 25 \Leftrightarrow$

$\lambda^2 = 1 \Leftrightarrow$

$(\lambda = 1 ~\text{ή} ~\lambda = -1)$

2β.)Για $\lambda = 1$ είναι:
$S = x_1 + x_2 = 5$ και $P = x_1 x_2 = -1.$ Τότε:

$x_1^2x_2 - 3x_1 + 4 -3x_2 + x_1 x_2^2 =$

$x_1 x_2 (x_1 + x_2) - 3(x_1 + x_2) + 4 =$

$-1 \cdot 5 - 3 \cdot 5 + 4 = - 16$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1491 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά