Α Λυκείου / ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 4

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1483 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1483 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ
Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού,
4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το τριώνυμο x^2 - 2x - 8 έχει \alpha = 1, ~\beta = -2, ~\gamma = -8 και διακρίνουσα:

    \begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) \\ &=& 4 + 32 \\ &=& 36 > 0 \end{eqnarray*}

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

    \begin{eqnarray*} x_{1, 2} &=& \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \\ &=& \dfrac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} \\ &=& \dfrac{2 \pm 6}{2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{2 + 6}{2} = 4 \\[5mm] \dfrac{2 - 6}{2} = -2 \end{array}\right. \end{eqnarray*}

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Πίνακας Προσήμων.
Πρόσημο του τριωνύμου x^{2}-2x-8.

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

    \begin{eqnarray*} x^2 - 2x - 8 < 0 &\Leftrightarrow& - 2 < x < 4 \\ &\Leftrightarrow& x \in (-2, 4) ~\text{και} \\ x^2 - 2x - 8 > 0 &\Leftrightarrow& (x < -2 ~\text{ή} ~x > 4) \\ &\Leftrightarrow& x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty) \end{eqnarray*}

2.) Ισχύει ότι:

    \begin{eqnarray*} \kappa &=& -\dfrac{8889}{4444} \\ &=& -\dfrac{8888 + 1}{4444} \\ &=& -\bigg(\dfrac{8888}{4444} + \dfrac{1}{4444}\bigg) \\ &=& - 2 -\dfrac{1}{4444} < -2 \end{eqnarray*}

Από τον πίνακα προσήμων του προηγούμενου ερωτήματος διαπιστώνουμε ότι για \kappa < -2 είναι: \kappa^2 - 2\kappa - 8 > 0.

3.) Η δοθείσα παράσταση γράφεται:

    \begin{eqnarray*} \mu^2 - 2|\mu| - 8 &=& |\mu|^2 - 2|\mu| - 8 \end{eqnarray*}

Επομένως προκύπτει από το αρχικό τριώνυμο θέτοντας x = |\mu|. Από το δεδομένο -4 < \mu < 4 συμπεραίνουμε ότι:

    \begin{eqnarray*} -4 < \mu < 4 &\Leftrightarrow& |\mu| < 4 \\ &\Leftrightarrow& 0 \leq |\mu| < 4 \end{eqnarray*}

Από τον πίνακα προσήμων του ερωτήματος (α’) διαπιστώνουμε ότι για 0 \leq |\mu| < 4 είναι:

    \begin{eqnarray*} &|\mu|^2 - 2|\mu| - 8 < 0 \end{eqnarray*}

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *