Α Λυκείου / ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 4

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1480 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1480 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ
Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού
4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το τριώνυμο x^2 - 3x + 2 έχει \alpha = 1, ~\beta = -3, ~\gamma = 2 και διακρίνουσα:

    \begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 \\ &=& 9 - 8 \\ &=& 1 > 0 \end{eqnarray*}

Οι ρίζες της εξίσωσης είναι:

    \begin{eqnarray*} x_{1, 2} &=& \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \\ &=& \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} \\ &=& \dfrac{3 \pm 1}{2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{3 + 1}{2} = 2 \\[5mm] \dfrac{3 - 1}{2} = 1 \end{array}\right. \end{eqnarray*}

2.) Θέτουμε στη δοθείσα εξίσωση x^2 = y ~(3). Τότε:

    \begin{eqnarray*} x^4 - 3x^2 + 2 = 0 &\Leftrightarrow& (x^2)^2 - 3x^2 + 2 = 0 \\ &\Leftrightarrow& y^2 - 3y + 2 = 0 \end{eqnarray*}

Η εξίσωση που προέκυψε είναι ίδια με το σκέλος (α’) οπότε έχει ρίζες τις y_1 = 1, y_2 = 2.

Για y = 1 η σχέση (3) δίνει: x^2 = 1 \Leftrightarrow (x = -1 ή x = 1).

Για y = 2 η σχέση (3) δίνει: x^2 = 2 \Leftrightarrow (x = -\sqrt{2} ή x = \sqrt{2}).

2.) Επειδή το ζητούμενο τριώνυμο έχει \alpha = 1 > 0 το πρόσημο του θα είναι αυτό που δίνεται στον πίνακα που ακολουθεί.

Πίνακας προσήμου τριωνύμου.
x^{2}+\beta x+ \gamma.

όπου x_1, x_2 οι ρίζες του με x_1 < x_2 και x_1, x_2 \in \{-\sqrt{2}, -1, 1, \sqrt{2}\}.

Για να είναι x^2 + \beta x + \gamma > 0 για κάθε x < 0 πρέπει οι ρίζες του x_1, x_2 να είναι θετικές αφού είναι 0 < x_1 < x_2.

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

\color{red}1^{\text{η}} περίπτωση
Οι ρίζες να είναι x_1 = 1 και x_2 = \sqrt{2}. Τότε από τους τύπους Vieta βρίσκουμε:
S = x_1 + x_2 = 1 + \sqrt{2} και
P = x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}
Το ζητούμενο τριώνυμο είναι το:

    \begin{eqnarray*} &x^2 - Sx + P = x^2 - (1 + \sqrt{2})x + \sqrt{2} \end{eqnarray*}

\color{red}2^{\text{η}} περίπτωση
Οι ρίζες να είναι x_1 = 1 και x_2 = 1. Τότε από τους τύπους Vieta βρίσκουμε:
S = x_1 + x_2 = 1 + 1 = 2 και
P = x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot 1 = 1
Το ζητούμενο τριώνυμο είναι το:

    \begin{eqnarray*} &x^2 - Sx + P = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \end{eqnarray*}

\color{red}3^{\text{η}} περίπτωση
Οι ρίζες να είναι x_1 = \sqrt{2} και x_2 = \sqrt{2}.

Τότε από τους τύπους \textlatin{Vieta} βρίσκουμε:
S = x_1 + x_2 = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}

και
P = x_1 \cdot x_2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2
Το ζητούμενο τριώνυμο είναι το:

    \begin{eqnarray*} &x^2 - Sx + P = x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = (x - \sqrt{2})^2 \end{eqnarray*}

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *