ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΜΕ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΗΔΕΝ

Print Friendly, PDF & Email

Αν f(x) \geq 0 και \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} f(x) ~dx = 0, τότε f(x) = 0.
ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΜΕ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΗΔΕΝ

Rendered by QuickLaTeX.com

Απόδειξη

Έστω ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x_0 \in [\alpha, \beta] τέτοιο, ωστε f(x_0) > 0.

Τότε επειδή η f είναι συνεχής στο [\alpha, \beta] και ισχύει f(x) \geq 0, ~\forall x \in [\alpha, \beta], θα είναι:

    \[\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} f(x) ~dx > 0\]

το οποίο είναι άτοπο.
Άρα δεν υπάρχει x_0 \in [\alpha, \beta], ώστε f(x_0) > 0. Επομένως ισχύει ότι:

    \[f(x) = 0, ~\forall x \in [\alpha, \beta]\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

Ισχύει ότι:

    \begin{align*} & \displaystyle\int_1^3 f^2(x) ~dx - 6\displaystyle\int_1^3 xf(x) ~dx = -78 \Leftrightarrow\\\\ & \displaystyle\int_1^3 f^2(x) ~dx - \displaystyle\int_1^3 6\cdot xf(x) ~dx = -78 \Leftrightarrow\\\\ & \displaystyle\int_1^3\big(f^2(x) - 6xf(x)\big) ~dx = -78 \Leftrightarrow \\\\ \end{align*}

Εφαρμόζουμε τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετραγωνου και προσθαφαιρούμε το 9x^{2}.

    \begin{align*} & \displaystyle\int_1^3 \big(f^2(x) - 6xf(x){\color{red} + 9x^2 - 9x^2}\big) ~dx = -78 \Leftrightarrow\\\\ & \displaystyle\int_1^3 \big(f^2(x) - 6xf(x) + 9x^2\big) ~dx  -\displaystyle\int_1^3  9x^2 = -78 \Leftrightarrow\\\\ & \displaystyle\int_1^3 \Big(f^2(x) - 6xf(x) + \big(3x\big)^2\Big) ~dx  -\displaystyle\int_1^3  9x^2 = -78 \Leftrightarrow\\\\ & \displaystyle\int_1^3 \big(f(x) - 3x\big)^2 ~dx - \displaystyle\int_1^3 9x^2 ~dx = -78 \Leftrightarrow\\\\ & \displaystyle\int_1^3 \big(f(x) - 3x\big)^2 ~dx - \displaystyle\int_1^3 3\cdot 3 x^2 ~dx = -78 \Leftrightarrow\\\\ & \displaystyle\int_1^3 \big(f(x) - 3x\big)^2 ~dx - \displaystyle\int_1^3 3\cdot ( x^3)' ~dx = -78 \Leftrightarrow\\\\ & \displaystyle\int_1^3 \big(f(x) - 3x\big)^2 ~dx - \displaystyle\int_1^3  (3\cdot x^3)' ~dx = -78 \Leftrightarrow\\\\ \end{align*}

    \begin{align*}  & \displaystyle\int_1^3 \big(f(x) - 3x\big)^2 ~dx - \big[3x^3\big]_1^3 = -78 \Leftrightarrow\\[3mm] & \displaystyle\int_1^3 \big(f(x) - 3x\big)^2 ~dx - (3 \cdot 3^3 - 3 \cdot 1^3) = -78 \Leftrightarrow\\\\ & \displaystyle\int_1^3 \big(f(x) - 3x\big)^2 ~dx - (3 \cdot 27 - 3 \cdot 1) = -78 \Leftrightarrow\\\\ & \displaystyle\int_1^3 \big(f(x) - 3x\big)^2 ~dx - (81 - 3) = -78 \Leftrightarrow\\\\ & \displaystyle\int_1^3 \big(f(x) - 3x\big)^2 ~dx -78 = -78 \Leftrightarrow\\\\ & \displaystyle\int_1^3 \big(f(x) - 3x\big)^2 ~dx = 0 \end{align*}

Για τη συνάρτηση g(x) = \big(f(x) - 3x\big)^2, με x \in [1, 3],

ισχύει ότι g(x) \geq 0, ~\forall x \in [1, 3] και \displaystyle\int_1^3 g(x) ~dx = 0.

Επομένως \forall x \in [1, 3] είναι:

    \begin{align*} g(x) & = 0 \Leftrightarrow \big(f(x) - 3x\big)^2 = 0 \Leftrightarrow\\[3mm] \Leftrightarrow & f(x) - 3x = 0 \Leftrightarrow f(x) = 3x, ~x \in [1, 3]. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *