Γ Λυκείου / ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ

ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

    \[m(\beta - \alpha) \leq \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} f(x) ~dx \leq M(\beta - \alpha)\]

ΜΕΓΙΣΤΗ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
1.) Η συνάρτηση f(x) = \dfrac{x^2 + x + 4}{x^2 + 3} έχει πεδίο ορισμού το \mathbb{R}.

Για κάθε x \in \mathbb{R} ισχύει ότι:

    \begin{align*} f'(x) & = \bigg(\dfrac{x^2 + x + 4}{x^2 + 3}\bigg)' \\\\ & = \dfrac{(x^2 + x + 4)'(x^2 + 3) - (x^2 + x + 4)\cdot (x^2 + 3)'}{(x^2 + 3)^2} \\\\ & = \dfrac{(2x + 1)(x^2 + 3) - (x^2 + x + 4)\cdot 2x}{(x^2 + 3)^2} \\\\ & = \dfrac{2x^3 + 6x + x^2 + 3 -2x^3 - 2x^2 - 8x}{(x^2 + 3)^2} \\\\ & = \dfrac{-x^2 - 2x + 3}{(x^2 + 3)^2} \\\\ & = -\dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x^2 + 3)^2} \\\\ & = -\dfrac{(x - 1)(x + 3)}{(x^2 + 3)^2}\\\\ & = \dfrac{-(x - 1)(x + 3)}{(x^2 + 3)^2}\\\\ & = \dfrac{(1-x)(x + 3)}{(x^2 + 3)^2} \end{align*}

Οι ρίζες και το πρόσημο της f', καθώς και η μονοτονία της f, φαίνονται στον επόμενο πίνακα τιμών.

Rendered by QuickLaTeX.com

Επειδή:

\bullet f(-3) = \dfrac{9 - 3 + 4}{9 + 3} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}

\bullet f(1) = \dfrac{1 + 1 + 4}{1 + 3} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}

\bullet\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + x + 4}{x^2 + 3} = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2}{x^2} = 1

\bullet\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 + x + 4}{x^2 + 3} = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2}{x^2} = 1

Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι το σύνολο τιμών της f είναι το:

    \[f(\mathbb{A}) = \bigg[\dfrac{5}{6}, \dfrac{3}{2}\bigg]\]

2.) Για κάθε x \in \mathbb{R}, άρα και \forall x \in [-4, 2], ισχύει ότι:

    \[minf = \dfrac{5}{6}\quad {\text{και}} \quad maxf=\dfrac{3}{2}\]

    \[\dfrac{5}{6} \leq f(x) \leq \dfrac{3}{2}\]

Επομένως ισχύει ότι:

    \begin{align*} & \dint_{-4}^2 \dfrac{5}{6} ~dx \leq \dint_{-4}^2 f(x) ~dx \leq \dint_{-4}^2 \dfrac{3}{2} ~dx \Leftrightarrow\\\\ &\dint_{-4}^2 \big(\dfrac{5}{6}x\big)' ~dx \leq \dint_{-4}^2 f(x) ~dx \leq \dint_{-4}^2 \big(\dfrac{3}{2}x\big)' ~dx \Leftrightarrow\\\\ &\Bigg[\dfrac{5}{6}x\Bigg]_{-4}^2 \leq \dint_{-4}^2 f(x) ~dx \leq \Bigg[\dfrac{3}{2}x\Bigg]_{-4}^2 \Leftrightarrow\\\\ &\dfrac{5}{6}\Bigg[x\Bigg]_{-4}^2 \leq \dint_{-4}^2 f(x) ~dx \leq \dfrac{3}{2}\Bigg[x\Bigg]_{-4}^2 \Leftrightarrow\\\\ &\dfrac{5}{6}\Bigg[2-(-4)\Bigg] \leq \dint_{-4}^2 f(x) ~dx \leq \dfrac{3}{2}\Bigg[2-(-4)\Bigg] \Leftrightarrow\\\\ &\dfrac{5}{6}\Bigg(2+4\Bigg) \leq \dint_{-4}^2 f(x) ~dx \leq \dfrac{3}{2}\Bigg(2+4\Bigg) \Leftrightarrow\\\\ & \dfrac{5}{6} \cdot 6 \leq \int_{-4}^2 f(x) ~dx \leq \dfrac{3}{2} \cdot 6 \Leftrightarrow\\\\ & 5 \leq \int_{-4}^2 f(x) ~dx \leq 9. \end{align*}

ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x^{2}+2x+6
1.) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.
2.) Να αποδείξετε ότι:

    \[\frac{2}{9}\leq \int_{-1}^{1} \frac{1}{x^{2}+2x+6} \, dx \leq \frac{2}{5}\]

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *