ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

Αρκεί να αποδείξουμε ότι $\forall x \geq -1$ είναι:

$\sqrt{x + 1} \leq \dfrac{x + 2}{2} \Leftrightarrow$

$2\sqrt{x + 1} \leq x + 2 \Leftrightarrow 2\sqrt{x + 1} - x - 2 \leq 0$

Θεωρούμε τη συνάρτηση:

$f(x) = 2\sqrt{x + 1} - x - 2, ~\text{με} ~ x \in [-1, +\infty)$

Για κάθε $x \geq -1$ είναι:

$f'(x) = \dfrac{2}{2\sqrt{x + 1}} - 1 \Leftrightarrow f'(x) = \dfrac{1 - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$

Στη συνέχεια για να φτιαξουμε τον πίνακα μονοτονιας θα πρεπει να υπολογίσουμε ,για $x\geq -1$ τα παρακάτω:

Τις ρίζες της εξίσωσης:
$1 - \sqrt{x + 1} = 0\Rightarrow 1 = \sqrt{x + 1}\Rightarrow 1^2 = \sqrt{x + 1}^2\Rightarrow$

$1 = x + 1 \Rightarrow x=0.$
και το πρόσημο:
$1 - \sqrt{x + 1} > 0\Rightarrow 1 > \sqrt{x + 1}\Rightarrow 1^2 > \sqrt{x + 1}^2\Rightarrow$

$1 > x + 1 \Rightarrow 0>x>-1.$
αντίστοιχα:
$1 - \sqrt{x + 1} < 0\Rightarrow 0 < x.$
Τελος για καθε $x \geq -1$ ισχύει $\sqrt{x+1}\geq 0$

Οι ρίζες και το πρόσημο της $f',$ καθώς και η μονοτονία της $f,$ φαίνονται στον παρακάτω πίνακα τιμών:

Rendered by QuickLaTeX.com

Η $f$ παρουσιάζει ολικό μέγιστο για $x = 0$ το:

$f(0) = 2\sqrt{0 + 1} - 0 -2 = 0$

δηλαδη:

$maxf =0 =f(0).$

Άρα $\forall x \geq -1$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} &f(x)\leq maxf\\ &f(x)\leq f(0)\\ &f(x)\leq 0\\ \end{align*}$

Το $=$ ισχύει για $x = 0$ ΜΟΝΟΝ.
Οπότε:

$f(x) \leq 0 \Leftrightarrow 2\sqrt{x + 1} - x - 1 \leq 0 \Leftrightarrow \sqrt{x + 1} \leq \dfrac{x + 2}{2}$

2.) Αν στη σχέση του προηγούμενου ερωτήματος θέσουμε όπου $x$ το $x^3,$ προκύπτει ότι:

$\sqrt{x^3 + 1} \leq \dfrac{x^3 + 2}{2}, ~\forall x \in [0, 1]$

Το $=$ ισχύει για $x = 0$ ΜΟΝΟΝ.
Επομένως ισχύει ότι:

$\displaystyle\int_0^1 \sqrt{x^3 + 1} ~dx < \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^3 + 2}{2} ~dx \quad (1)$

Όμως είναι:

$\begin{align*} \displaystyle\int_0^1\dfrac{x^3 + 2}{2} ~dx & = \displaystyle\int_0^1 \bigg(\dfrac{x^3}{2} + 1\bigg) ~dx = \\[3mm] & = \bigg[\dfrac{x^4}{8} + x\bigg]_0^1 = \dfrac{1}{8} + 1 - 0 = \dfrac{9}{8} \end{align*}$

Επομένως ισχύει ότι:

$\xLeftrightarrow{(1)} \displaystyle\int_0^1 \sqrt{x^3 + 1} < \dfrac{9}{8}$

ΑΣΚΗΣΗ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
Να αποδείξετε ότι:
1.) $\ln x \geq 1-\dfrac{1}{x}.$
\dint_{1}^{2} x^{x} \,\, dx \geq e -1.
2.)

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά