ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΝΙΣΑ ΥΠΟΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ

Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχουν $\xi_1, \xi_2,...,\xi_{\nu}\in(\alpha,\beta)$ για τα οποία ισχύει

$\kappa_1f'(\xi_1)+\kappa_2f'(\xi_2)+...+\kappa_{\nu}f'(\xi_{\nu})=\lambda$

τότε πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα $[\alpha,\beta]$ σε $\nu$ υποδιαστήματα και εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ σε καθένα από αυτά. Ο χωρισμός θα πρέπει να γίνει ως εξής:
Έστω $\delta=\beta-\alpha$ το πλάτος του διαστήματος $[\alpha,\beta]$ και

$\kappa=\kappa_1+\kappa_2+...+\kappa_\nu$

Θεωρούμε τα υποδιαστήματα $[\alpha,x_1],[x_1,x_2],...,[x_{\nu-1},\beta]$ με αντίστοιχα πλάτη

$\delta_1=\frac{\kappa_1}{\kappa}\cdot\delta, \delta_2=\frac{\kappa_2}{\kappa}\cdot\delta,...,\delta_{\nu}=\frac{\kappa_\nu}{\kappa}\cdot\delta$

Παράδειγμα
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει ότι

$f(10)=9+f(1)$

Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\xi_1,\xi_2\in(1,10)$ ώστε

$f'(\xi_1)+2f'(\xi_2)=3$

Λύση
Το πλάτος του διαστήματος $(1,10)$ είναι ίσο με $\delta=10-1\Leftrightarrow\delta=9.$
Επίσης είναι:

$\kappa = \kappa_{1}+\kappa_{2}\Leftrightarrow \kappa =1+2 =3$

Θα χωρίσουμε το διάστημα $[1,10]$ σε δύο υποδιαστήματα με πλάτη:

$\delta_{1} =\dfrac{\kappa_{1}}{\kappa}\cdot \delta\Leftrightarrow \delta_1= \frac{1}{3}\cdot 9 =3$

και

$\delta_{2} =\dfrac{\kappa_{2}}{\kappa}\cdot \delta\Leftrightarrow \delta_2 =\frac{2}{3}\cdot 9 =6$

Συνεπως, το διάστημα $[1,10]$ θα το χωρίσουμε σε δύο υποδιαστηματα που το πρώτο θα έχει πλάτος $3$ και το δεύτερο πλάτος $6$ δηλαδη θεωρούμε τα διαστήματα:

$[1,4] \quad \text{και} \quad [4,10]$

Η $f$ είναι συνεχής σε καθένα από τα $[1,4]$ και $[4,10]$ και παραγωγίσιμη σε καθένα από τα $(1,4)$ και $(4,10)$ , αφού η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}.$ Επομένως σε καθένα από τα υποδιαστήματα εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ σύμφωνα με το οποίο:
υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi_1\in(1,4)$ τέτοιο ώστε:

$f'(\xi_1)= \frac{f(4)-f(1)}{4-1} =\frac{f(4)-f(1)}{3}$

Και υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi_2\in(4,10)$ τέτοιο ώστε:

$f'(\xi_2) =\frac{f(10)-f(4)}{10-4} =\frac{f(10)-f(4)}{6}$

Για τα παραπάνω $\xi_1,\xi_2\in(1,10)$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} &f'(\xi_1)+2\cdot f'(\xi_2)=\\\\ &=\frac{f(4)-f(1)}{3}+2\cdot\frac{f(10)-f(4)}{6}\\\\ &=\frac{f(4)-f(1)}{3}+\frac{f(10)-f(4)}{3}\\\\ &=\frac{f(4)-f(1)+f(10)-f(4)}{3}\\\\ &=\frac{f(10)-f(1)}{3} \end{align*}$

Απο υπόθεση έχουμε ότι $f(10)=9+f(1)$ οπότε

$\frac{9+f(1)-f(1)}{3}=\dfrac{9}{3}=3.$

Τελικά $f'(\xi_1)+2f'(\xi_2)=3.$

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΑΝΙΣΑ ΥΠΟΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά