ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ (ΘΕΩΡΙΑ)

Rendered by QuickLaTeX.com

Απόδειξη
Για κάθε $x \in [\alpha, \beta],$ από υπόθεση ισχύει ότι:

$f(x)\geq g(x)\Leftrightarrow$

$f(x) - g(x) \geq 0.$

Θεωρούμε τη συνάρτηση: $h(x) = f(x) - g(x)$ με $x \in [\alpha, \beta].$
Η $h$ είναι συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ και ισχύει

$h(x) \geq 0, ~\text{για κάθε}~ x \in [\alpha, \beta],$

οπότε είναι:

$\begin{align*} \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} h(x) ~dx \geq 0 & \Leftrightarrow \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \big(f(x) - g(x)\big) ~dx \geq 0 \Leftrightarrow\\[3mm] & \Leftrightarrow \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} f(x) ~dx - \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} g(x) ~dx \geq 0 \Leftrightarrow \\[3mm] & \Leftrightarrow \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} f(x) ~dx \geq \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} g(x) ~dx \end{align*}$

Επιπλέον:
Αν οι $f$ και $g$ είναι συνεχείς στο $[\alpha, \beta]$ με $f(x) \geq g(x), ~\text{για κάθε}~ x \in [\alpha, \beta]$ και υπάρχει
ένα τουλάχιστον $x_0 \in [\alpha, \beta]$ τέτοιο,
ώστε $f(x_0) > g(x_0),$
τότε από τη θεωρία
ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
ισχύει ότι:

$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} f(x) ~dx > \displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} g(x) ~dx$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ (ΘΕΩΡΙΑ)

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά