Γ Λυκείου / ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ

Αν f(x)\leq g(x) κοντά στο x_{0}\in \rr και

  • \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=+\infty, τότε και \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}g(x)=+\infty.
  • \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}g(x)=-\infty, τότε και \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=-\infty.

Για τις ασκήσεις δεν θα χρησιμοποιούμε τα παραπάνω συμπεράσματα ως έχουν αλλά θα γίνεται η απόδειξη τους, όπως το παρακάτω παράδειγμα.

Παράδειγμα.1.

Δίνεται η συνάρτηση f:\rr\to\rr για την οποία για κάθε x\in \rr, ισχύει

    \[(x^{2}-6x +9)f(x)\leq x-5\]

Να βρεθεί το \displaystyle\lim_{x\to 3} f(x).

Λύση

Αφού για κάθε x\in \rr, ισχύει

    \[(x^{2}-6x +9)f(x)\leq x-5\]

άρα θα ισχύει και για x πολύ κοντά στο 3 δηλαδή

    \begin{align*} &(x^{2}-6x +9)f(x)\leq x-5\Leftrightarrow \\\\ &f(x) \leq \dfrac{ x-5}{x^{2}-6x +9}\Leftrightarrow \\\\ &f(x) \leq \dfrac{ x-5}{(x-3)^{2}} \quad (1.) \end{align*}

Επίσης έχουμε ότι

    \[\lim_{x\to 3} \dfrac{ x-5}{(x-3)^{2}} = \big(\dfrac{3-5}{0}\big)=\big(\dfrac{-2}{0}\big) =-\infty\]

Αφού πολύ κοντά στο 3 ισχύει ότι (x-3)^{2}>0.

Επιπλέον πολύ κοντά στο 3 έχουμε ότι

    \[\lim_{x\to 3} \dfrac{ x-5}{(x-3)^{2}} =-\infty \Rightarrow \dfrac{ x-5}{(x-3)^{2}}<0\quad (2.)\]

άρα

    \begin{align*} (1.)\overset{(2.)}{\Rightarrow} f(x) \leq \dfrac{ x-5}{(x-3)^{2}}<0 \Leftrightarrow \\\\ 0>\dfrac{1}{f(x)}>\dfrac{(x-3)^{2}}{x-5} \end{align*}

Οπότε έχουμε
\displaystyle\lim_{x\to 3}0=0 \quad και \quad\displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{(x-3)^{2}}{x-5} = \dfrac{(3-3)^{2}}{3-5}=\dfrac{0}{-2}=0

Από κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι

    \[\lim_{x\to 3}\dfrac{1}{f(x)} =0.\]

Επειδή από τα παραπάνω έχουμε δείξει ότι f(x)<0 τότε θα ισχύει ότι

Γενικα ισχύει οτι:

    \[f(x)= \dfrac{1}{\frac{1}{f(x)}}\]

Υπολογίζουμε τα όρια:

    \begin{align*} \lim_{x\to 3}f(x) =&\lim_{x\to 3} \dfrac{1}{\frac{1}{f(x)}} \\\\ =& \Big(\dfrac{1}{0}\Big)\Big(\dfrac{+}{-}\Big )\\\\ =& -\infty \end{align*}

Έτσι:

    \[\lim_{x\to 3}f(x)=-\infty.\]

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική, Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *