![\text{Να λυθεί η παρακάτω άσκηση} \begin{enumerate} \item Έστω η συνεχής συνάρτηση $ f: \rr \to \rr$ για την οποία ισχύει: $$ f^{2}(x) = 1+2xf(x) \quad x \in \rr$$ \begin{enumerate} \item Να δείξετε ότι $ f(x) \neq x \quad x \in \rr.$ \item Αν $ f(1) >1,$ να βρείτε:\,\\ \begin{inparaenum}[i.)] \item \,τον τύπο της $ f.$\\ \item \,το $ \displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x) \cdot \hm x.$ \end{inparaenum} \end{enumerate} \end{enumerate}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6bb171dab6953a473ba72887faf3c682_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Αρχείο κατηγορίας Γ Λυκείου
- ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
- ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
- ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
- ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
- ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
- ΙΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
- ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
- ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
- ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
- ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1
- ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
- ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
- ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
- ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
- ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ
- ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
- ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
- ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
- ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO
- ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ BOLZANO
- ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ BOLZANO ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
- ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ BOLZANO ΑΣΚΗΣΕΙΣ
- ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO
- ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
- Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ
- Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
- ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
- ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ
- ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ
- ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
- ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
- ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
- ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
- ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
- ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
- ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ
- ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
- ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT
- ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ
- ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΤΟΠΙΚΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
- ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ
- ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ
- ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ
- ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
- ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ
- ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ
- ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΣΥΠΤΩΤΕΣ
- ΚΑΝΟΝΕΣ DE L' HOSPITAL
- ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ DEL HOSPITAL
- ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
- ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
- ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ – ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ
- ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
- ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
- ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
- ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
- ΓΕΝΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ – ΑΚΡΟΤΑΤΑ
- ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΣΜΩΝ
- ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α.ΜΕΡΟΣ
- ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β. ΜΕΡΟΣ
- ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΒΒ ΜΕΡΟΣ
- ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 100 – 151
- ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΒΧΧ
- ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ
- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ,
- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΡΟΣ Α.
- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΡΟΣ Β
- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
- ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΜΕΡΟΣ Α
Φ9/200
![\text{Να λυθεί η παρακάτω άσκηση} \begin{enumerate} \item Δίνεται η γνησίως φθίνουσα και συνεχής συνάρτηση $ f:[0,1] \to \rr.$ Αν $ A(1,1)\in C_{f}$ τότε: \begin{enumerate} \item Να δείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα η συνάρτηση: $$ g(x) = \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{x} +2, \quad x\in (0,1)$$ \item Να βρείτε το σύνολο τιων της $ g. $ \item Δείξτε ότι η εξίσωση: $ \dfrac{f(x)}{x} = 1+ 2f(x)$ έχει μοναδική ρίζα στο $ (0,1).$ \end{enumerate} \end{enumerate}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-402e42d92e3a99c989be44942311fec9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Φ8/200
![\text{Να λυθεί η παρακάτω άσκηση} \begin{enumerate} \item Έστω η συνεχής συνάρτηση $ f: \rr \to \rr $ για την οποία ισχύει: $$ x^{2} < f(x) < x^{2} +1, \quad x \in \rr.$ \begin{enumerate} \item Να δείξετε ότι η $ C_{f}$ τέμνει την ευθεία $ (\epsilon): y =2x $ σ'ὲνα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη $ x_{0} \in (0,1) $ \item Αν η συνάρτηση $ f$ είναι γνησίως αύξουσα να δείξετε ότι: \begin{enumerate} \item Η $ g(x) = \dfrac{1}{f(x)}+ \dfrac{1}{e^{x}}-1,$ με $ x\in \rr$ είναι γνησίως φθίνουσα. \item Η εξίσωση $ e^{x} + f(x) = e^{x}f(x)$ έχει\\ μοναδική ρίζα στο $ (0,2)$ \item Να βρείτε το $ \displaystyle\lim_{x\to 0}\big[ x^{2}f\big(\dfrac{1}{x}\big)+ \ln x \big]$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{enumerate}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-61aeee0af5b85527508d73c1be8219e9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Φ7/200
Φ6/201
ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Συνέχεια ανάγνωσης ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΣΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
Σε σύνθετες περιπτωσεις υπολογισμού ορισμένου ολοκληρώματος
χρησιμοποιούμε το άθροισμα των άκρων στην ολοκλήρωση με αντικατάσταση, ως εξής:
![\[x = \alpha +\beta - u.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7988312cfd24c7f6ec43d71f51fcc9f7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
οπότε έχουμε:
![\[dx = (\alpha + \beta -u)' du \Rightarrow dx = -du.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-09c3b00c449f40b33fbaef5b4baefe43_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Συνέχεια ανάγνωσης ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΣΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ
ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Έστω μια συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο και 1-1. Για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος της αντίστροφης συνάρτησης της μορφής
![\[\int_{\alpha }^{\beta} f^{-1}(x)\, dx\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5aecf65b70c5a1fd6d3721a3f4cca0c7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
όπου ο υπολογισμός της αντίστροφης είναι αδύνατος, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:
οπότε 
Βρίσκουμε τα άκρα ολοκλήρωσης:
έχουμε: 
έχουμε: 
![\[\int_{\alpha }^{\beta} f^{-1}(x)\, dx =\int_{\gamma}^{ \delta} u \cdot f'(u)\, du\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c97343a24f5309c243cdbcff14988982_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Και συνεχίζουμε την επίλυση με τη μέθοδο της παραγοντικής ολοκλήρωσης
Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
