Αρχείο ετικέτας ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ

Έστω $(\epsilon): A\mathrm{x} + \Beta\mathrm{y} + \Gamma = 0$ μια ευθεία του Καρτεσιανού επιπέδου και $Μ(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0})$ ένα σημείο εκτός αυτής.
Η απόσταση του σημείου $\boldsymbol{M}$ από την ευθεία $\boldsymbol{(\epsilon)}$ συμβολίζεται με $d(M,\epsilon)$ και αποδεικνύεται ότι είναι ίση με:

$d(M,\epsilon) = \frac{\lvert A\mathrm{x}_{0} + B\mathrm{y}_{0} + \Gamma \rvert}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ →

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ,Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ

20 Φεβρουαρίου 2021 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ

Έστω
$(\epsilon_{1}): \mathrm{y} = \lambda \mathrm{x} + \beta_{1}$ και $(\epsilon_{2}): \mathrm{y} = \lambda \mathrm{x} + \beta_{2},$
δύο παράλληλες ευθείες.
Η απόσταση των ευθειών $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2})$ συμβολίζεται με $d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2})$ και αποδεικνύεται ότι είναι ίση με:

$d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \frac{|\beta_{1} - \beta_{2}|}{\sqrt{1 + \lambda^{2}}}.$

Η απόσταση δύο παράλληλων ευθειών, είναι ίση με το μήκος του κάθετου ευθύγραμμου τμήματος, που ορίζεται από δύο τυχαία σημεία των ευθειών.

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ →

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ,Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

3 Φεβρουαρίου 2021 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδουν που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.
Για να βρούμε τις διχοτόμους των γωνιών που σχηματίζουν δύο ευθείες, εργαζόμαστε ως εξής:
Το σημείο $Μ(\mathrm{x},\mathrm{y})$ ανήκει στη διχοτόμο μιας γωνίας που σχηματίζουν δύο ευθείες $(\epsilon_{1})$ και $(\epsilon_{2}),$ αν και μόνο αν:

$d(M,\epsilon_{1}) = d(M,\epsilon_{2})$

Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ →

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ,Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

27 Ιανουαρίου 2021 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Να βρείτε τις τιμές του ώστε καθεμία από τις παρακάτω εξισώσεις να παριστάνει ευθεία γραμμή.
1. $(\lambda^2 - 4)x + (\lambda^2 - 5\lambda + 6)y + \lambda - 1 = 0,$
2. $x + y - 3 + \lambda(x + y + 1) = 0.$

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ,ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

25 Ιανουαρίου 2021 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Η εξίσωση

$\boldsymbol{A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma} \text{ με } \, \boldsymbol{A \neq 0} \,\text{ή} \,\boldsymbol{B \neq 0}$

Θεώρημα
Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής:

$A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 \text{ με} A \neq 0\,\, \text{ ή }\,\, B \neq 0 \qquad (1)$

και αντίστροφα, κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία γραμμή.

Απόδειξη

Συνέχεια ανάγνωσης ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ,ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

15 Ιανουαρίου 2021 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

Για να αποδείξουμε ότι μια παραμετρική εξίσωση παριστάνει ευθείες που διέρχονατι από το ίδιο σημείο (ανεξάρτητο της παραμέτρου), εργαζόμαστε με έναν από τους τρόπους που ακολουθούν:
1ος τρόπος

$\bullet$ Θεωρούμε $Μ(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0})$ το κοινό σημείο.

$\bullet$ Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του στην εξίσωση.

$\bullet$ Μετατρέπουμε την εξίσωση που προκύπτει σε πολυωνυμική με άγνωστο την παράμετρο.
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ,ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ – ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

28 Δεκεμβρίου 2020 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ – ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

Η ευθεία με εξίσωση $Α\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0$ είναι:

A) παράλληλη στο διάνυσμα $\vec{\delta} = (B, -A),$
B) κάθετη στο διάνυσμα $\vec{n} = (A, B).$
Απόδειξη
A)
$\bullet$ Αν $Β \neq 0,$ τότε:

$->>>$ η ευθεία $\epsilon: A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0$ έχει συντελστή διεύθυνσης: $\lambda_{\epsilon} = -\dfrac{A}{B},$
$->>>$ το διάνυσμα $\vec{\delta} = (B, -A)$ έχει συντελστή διεύθυνσης: $\lambda_{\vec{\delta}} = -\dfrac{A}{B}.$
Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ – ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ,ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

27 Δεκεμβρίου 2020 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Για να βρούμε την οξεία γωνία $\varphi$ που σχηματίζουν δύο ευθείες $\epsilon_{1}$ και $\epsilon_{2},$ εργαζόμαστε ως εξής:

$\bullet$ Θεωρούμε διανύσματα $\vec{\delta_{1}} \parallel \epsilon_{1}$ και $\vec{\delta_{2}} \parallel \epsilon_{2}.$

$\bullet$ Βρίσκουμε τη γωνία $\omega = (\widehat{\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta}_{2}})$ χρησιμοποιώντας τη σχέση:

$\sigma\upsilon\nu(\widehat{\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta}_{2}}) = \frac{\vec{\delta_{1}} \cdot \vec{\delta_{2}}}{\lvert\vec{\delta_{1}}\rvert \lvert \vec{\delta_{2}\rvert}}.$

$\bullet$ Αν $\sigma\upsilon\nu(\widehat{\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta}_{2}}) > 0$ , τότε $\omega < 90^{\circ}$ και η ζητούμενη γωνία είναι η:
Συνέχεια ανάγνωσης ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ,ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΙ ΓΝΩΣΤΗ ΓΩΝΙΑ ΜΕ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ

18 Δεκεμβρίου 2020 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΙ ΓΝΩΣΤΗ ΓΩΝΙΑ ΜΕ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΙ ΓΝΩΣΤΗ ΓΩΝΙΑ ΜΕ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ →

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

Αρχείο ετικέτας ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ

ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ – ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΙ ΓΝΩΣΤΗ ΓΩΝΙΑ ΜΕ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ

ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά