Αρχείο ετικέτας ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ

Σχολιάστε

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ

Έστω (\epsilon): A\mathrm{x} + \Beta\mathrm{y} + \Gamma = 0 μια ευθεία του Καρτεσιανού επιπέδου και Μ(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}) ένα σημείο εκτός αυτής.
Η απόσταση του σημείου \boldsymbol{M} από την ευθεία \boldsymbol{(\epsilon)} συμβολίζεται με d(M,\epsilon) και αποδεικνύεται ότι είναι ίση με:

    \[d(M,\epsilon) = \frac{\lvert A\mathrm{x}_{0} + B\mathrm{y}_{0} + \Gamma \rvert}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ

Σχολιάστε

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ

Έστω
(\epsilon_{1}): \mathrm{y} = \lambda \mathrm{x} + \beta_{1} και (\epsilon_{2}): \mathrm{y} = \lambda \mathrm{x} + \beta_{2},
δύο παράλληλες ευθείες.
Η απόσταση των ευθειών (\epsilon_{1}) και (\epsilon_{2}) συμβολίζεται με d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) και αποδεικνύεται ότι είναι ίση με:

    \[d(\epsilon_{1}, \epsilon_{2}) = \frac{|\beta_{1} - \beta_{2}|}{\sqrt{1 + \lambda^{2}}}.\]

Η απόσταση δύο παράλληλων ευθειών, είναι ίση με το μήκος του κάθετου ευθύγραμμου τμήματος, που ορίζεται από δύο τυχαία σημεία των ευθειών.

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Σχολιάστε

ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδουν που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.
Για να βρούμε τις διχοτόμους των γωνιών που σχηματίζουν δύο ευθείες, εργαζόμαστε ως εξής:
Το σημείο Μ(\mathrm{x},\mathrm{y}) ανήκει στη διχοτόμο μιας γωνίας που σχηματίζουν δύο ευθείες (\epsilon_{1}) και (\epsilon_{2}), αν και μόνο αν:

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Σχολιάστε
  1. Να βρείτε τις τιμές του \lambda, ώστε καθεμία από τις παρακάτω εξισώσεις να παριστάνει ευθεία γραμμή.

    1. (\lambda^2 - 4)x + (\lambda^2 - 5\lambda + 6)y + \lambda - 1 = 0,
    2. x + y - 3 + \lambda(x + y + 1) = 0.

    Να βρείτε τις τιμές των \kappa, \lambda, ώστε η εξίσωση (\kappa - 2)x + (\lambda + \kappa - 3)y + \lambda - 1 = 0 να παριστάνει ευθεία γραμμή.

  2. Να δείξετε ότι καθεμία από τις παρακάτω εξισώσεις παριστάνει ευθεία γραμμή.

    1. (\lambda - 1)x + (\lambda - 2)y + 1 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R},
    2. x\eta\mu\theta + y\sigma\upsilon\nu\theta - 3 = 0, ~\theta \in \mathbb{R}.
  3. Να βρειτε τις τιμές του \lambda, ώστε η ευθεία (\lambda - 1)x + (\lambda^2 - 3)y + \lambda^3 + 1 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R}.

    1. Να είναι παράλληλη στον άξονα x'x,
    2. Να είναι παράλληλη στον άξονα y'y,
    3. Να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
  4. Να αποδείξετε ότι κάθε μια από τις παρακάτω ευθείες διέρχεται από σταθερό σημείο.

    1. x - y +\lambda(2x + y - 3) = 0, ~\lambda \in \mathbb{R},
    2. (\lambda + 1)x + (\lambda - 1)y + 4\lambda -2 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R},
    3. (\lambda^2 + \lambda + 1)x + (\lambda^2 - 2\lambda)y -3\lambda -1 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R},
    4. 2x\sigma\upsilon\nu^2\theta + 2y\eta\mu^2\theta - 2\eta\mu^2\theta = 0, ~\theta \in \mathbb{R}.
  5. Να δείξετε ότι δε διέρχονται από το ίδιο σημείο όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση (\lambda^2 + 1)x - \lambda y + \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R}
  6. Δίνεται η εξίσωση 2\lambda x + (\lambda^2 - 1)y - 2\lambda^2 - 2\lambda + 3 = 0, όπου \lambda \in \mathbb{R}.

    1. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία, για κάθε \lambda \in \mathbb{R}.
    2. Να δείξετε ότι δε διέρχονται από το ίδιο σημείο όλες οι ευθείες που ορίζονται από την παραπάνω εξίσωση.
  7. Δϊνεται η εξίσωση (\lambda^2 - 1)x + (\lambda^2 - \lambda)y + \lambda - 3 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R}. Να βρείτε τις τιμές του \lambda, ώστε η παραπάνω εξίσωση να παριστάνει:

    1. ευθεία,
    2. ευθεία που να είναι παράλληλη στον άξονα:

      1. x'x,
      2. y'y,
    3. ευθεία που να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
  8. Δίνεται η εξίσωση (\kappa - 1)x + (\lambda^2 - \kappa \lambda + 1)y + \kappa -2 = 0, ~\kappa, \lambda \in \mathbb{R}.

    1. Να δείξετε ότι για οποιεσδήποτε τιμές των παραμέτρων \kappa, \lambda η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία γραμμή.
    2. Ποια από τις παραπάνω ευθείες διέρχεται από την αρχή των αξόνων και σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία \omega = \dfrac{3\pi}{4}?
  9. Δίνεται η εξίσωση x - y + 1 + \lambda(x + 2y - 1) = 0, ~\lambda \in \mathbb{R}.

    1. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθεία.
    2. Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την παραπάνω εξίσωση διέρχονται από σταθερό σημείο.
    3. Να βρείτε την ευθεία που ορίζεται από την παραπάνω εξίσωση και

      1. διέρχεται από το σημείο Α(-1, 2),
      2. διέρχεται από την αρχή των αξόνων,
      3. είναι παράλληλη στον άξονα x'x,
      4. είναι παράλληλη στον άξονα y'y,
      5. σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία \omega = 135^{\circ},
      6. είναι κάθετη στο διάνυσμα \vec{\nu} = (1, 3).
  10. Έστω οι ευθείες \epsilon_1: (\lambda - 1)x + \lambda y = \lambda, ~\epsilon_2: \lambda x + (\lambda + 1)y = 2\lambda.

    1. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \epsilon_1, \epsilon_2 τέμνονται, για κάθε \lambda \in \mathbb{R}.
    2. Να βρείτε το σημείο τομής των \epsilon_1, \epsilon_2.
  11. Έστω οι ευθείες \epsilon_1: 3x + (\lambda - 2)y - \lambda = 0 και \epsilon_2: (\lambda + 2)x - \lambda y - 2 = 0. Να βρείτε το \lambda ώστε:

    1. \epsilon_1 \parallel \epsilon_2,
    2. \epsilon_1 \perp \epsilon_2.
  12. Δίνονται οι ευθείες \epsilon_1: (\lambda - 1)x - (\lambda + 5)y - 1 = 0 και x + (\lambda + 1)y + \lambda + 3 = 0.

    1. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \epsilon_1, \epsilon_2 τέμνονται για οποιαδήποτε τιμή του \lambda \in \mathbb{R}.
    2. Να βρείτε τις τιμές του \lambda, ώστε οι ευθείες \epsilon_1 και \epsilon_2 να τέμνονται κάθετα.
  13. Δίνονται τα σημεία Α(1, 5) και Β(2, 1). Να βρείτε σημείο Μ της ευθείας \epsilon: x - y = 0, τέτοιο, ώστε το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ορθογώνιο στο Μ.
  14. Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών: \epsilon_1: x - 7y + 2 = 0 και \epsilon_2: 3x + 4y - 1 = 0.
  15. Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών: \epsilon_1: (2 - \sqrt{3})x - y + 1 = 0 και \epsilon_2: x + y = 0.
  16. Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών: \epsilon_1: (\lambda - 1)x + (\lambda + 1)y - 1 = 0 και \epsilon_2: \lambda x + y + 2 = 0.
  17. Δίνεται η εξίσωση y^2 - 3x^2 = 0.

    1. Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες \epsilon_1, \epsilon_2.
    2. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x'x καθεμία από τις \epsilon_1, \epsilon_2.
    3. Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζει η ευθεία \eta: x + y = 0 με την \epsilon_1 και με την \epsilon_2.
  18. Δίνεται η ευθεία \epsilon: x + y\sqrt{3} + 1 = 0.

    1. Να βρείτε την εξίσωση της συμμετρικής ευθείας \epsilon' της \epsilon ως προς τον άξονα x'x.</li
    2. Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι \epsilon και \epsilon'.</li
  19. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, όταν:

    1. M(\lambda – 1, 2\lambda – 3), \lambda \in \mathbb{R},
    2. Μ(\lambda – 1, 2\lambda), \lambda \geq 0,
    3. Μ(2\lambda, 3), \lambda \in \mathbb{R},
    4. Μ(\lambda – 1, -2), 1 < \lambda \leq 5,
    5. Μ(3, \lambda^2 + 1), \lambda \in \mathbb{R},
    6. Μ(\sigma\upsilon\nu\lambda, 3), \lambda \in \mathbb{R}.
  20. Αν Α(\lambda - 1, 2), Β(2\lambda – 3, \lambda + 1) και Γ(3\lambda, 2\lambda), \lambda \in \mathbb{R}, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, ώστε \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{B\Gamma}.
  21. Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ(1 + \eta\mu^2\theta, 2 – 3\sigma\upsilon\nu^2\theta), \theta \in \mathbb{R} κινείται πάνω σε σταθερή ευθεία.
  22. Έστω ότι το σημείο Ν κινείται πάνω στην ευθεία \epsilon: x - y + 1 = 0. Να βρείτε που κινείται το συμμετρικό Μ του σημείου Ν ως προς το σημείο Κ(-1, 3).
  23. Έστω ότι το σημείο Ν κινείται πάνω στην ευθεία \epsilon: x - y + 2 = 0. Αν Α, Β οι προβολές του Ν πάνω στους άξονες x'x, y'y αντιστοίχως, να βρείτε που κινείται το σημείο Μ για το οποίο ισχύει: \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}.
  24. Έστω ότι μια ευθεία (\eta) με συντελεστή διεύθυνσης \lambda = 1, κινείται και τέμνει τις ευθείες \epsilon_1: x + y - 2 = 0, ~\epsilon_2: 2x - y - 1 - 0 στα σημεία Α, Β αντιστοίχως. Να βρείτε που κινείται το σημείο Μ για το οποίο ισχύει \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB}.
  25. Έστω οι ευθείες \epsilon_1: \lambda x + (\lambda - 1)y - 2 = 0 και \epsilon_2: (\lambda + 1)x + \lambda y - 3 = 0.

    1. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες \epsilon_1, \epsilon_2 τέμνονται για αοποιαδήποτε τιμή του \lambda.
    2. Να βρείτε το σημείο τομής Μ των ευεθιών \epsilon_1, \epsilon_2.
    3. Να αποδείξετε ότι το παραπάνω σημείο Μ βρίσκεται σε σταθερή ευθεία.
  26. Δίνεται η εξίσωση x^2 - y^2 + 4\lambda x + 2\lambda y + 3\lambda^2 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R}.

    1. Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες \epsilon_1, \epsilon_2 που είναι κάθετες.
    2. Να βρείτε το σημείο τομής Μ των ευθειών \epsilon_1, \epsilon_2.
    3. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ.
  27. Δίνονται οι οικογένειες των ευθειών που ορίζονται απο τις παρακάτω εξισώσεις. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, από τα οποία:

    1. διέρχεται μία μόνο ευθεία της οικογένειας των ευθειών \lambda x - y + \lambda^2 = 0, ~\lambda \in \mathbb{R},
    2. δε διέρχεται καμία ευθεία της οικογένειας των ευθειών (\lambda + 2)x - (2\lambda + 1)y + 3 = 0, \lambda \in \mathbb{R}.
  28. Να σχεδιάσετε τις γραμμές τις οποίες παριστάνουν οι εξισώσεις:

    1. x^2 - y^2 + 6y - 9 = 0
    2. 4x^2 - y^2 - 4x - 2y = 0
    3. x^2 - 4xy + 3y^2 = 0
    4. 2x^2 - 2xy - y^2 = 0
  29. Αν η ευθεία \eta: x - 2y + 1 = 0 είναι μεσοπαράλληλος των ευθειών \epsilon_1: x - 2y + \alpha = 0 και \epsilon_2: 2x - 4y + \alpha + 2 = 0, να βρείτε το \alpha.
  30. Να βρείτε τη μεσοπαράλληλο των ευθειών \epsilon_1: x - y - 2 = 0 και \epsilon_2: x - y - 4 = 0.
Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Σχολιάστε

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Η εξίσωση

    \[\boldsymbol{A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma} \text{ με } \, \boldsymbol{A \neq 0} \,\text{ή} \,\boldsymbol{B \neq 0}\]

Θεώρημα
Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής:

    \[A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 \text{ με} A \neq 0\,\, \text{ ή }\,\, B \neq 0 \qquad (1)\]

και αντίστροφα, κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία γραμμή.

Απόδειξη

Συνέχεια ανάγνωσης ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

Σχολιάστε

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ

Για να αποδείξουμε ότι μια παραμετρική εξίσωση παριστάνει ευθείες που διέρχονατι από το ίδιο σημείο (ανεξάρτητο της παραμέτρου), εργαζόμαστε με έναν από τους τρόπους που ακολουθούν:
1ος τρόπος

\bullet Θεωρούμε Μ(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}) το κοινό σημείο.

\bullet Αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του στην εξίσωση.

\bullet Μετατρέπουμε την εξίσωση που προκύπτει σε πολυωνυμική με άγνωστο την παράμετρο.
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ – ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

Σχολιάστε

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ – ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

Η ευθεία με εξίσωση Α\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 είναι:

A) παράλληλη στο διάνυσμα \vec{\delta} = (B, -A),
B) κάθετη στο διάνυσμα \vec{n} = (A, B).
Απόδειξη
A)
\bullet Αν Β \neq 0, τότε:

->>> η ευθεία \epsilon: A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 έχει συντελστή διεύθυνσης: \lambda_{\epsilon} = -\dfrac{A}{B},
->>> το διάνυσμα \vec{\delta} = (B, -A) έχει συντελστή διεύθυνσης: \lambda_{\vec{\delta}} = -\dfrac{A}{B}.
Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ – ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Σχολιάστε

ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ

Για να βρούμε την οξεία γωνία \varphi που σχηματίζουν δύο ευθείες \epsilon_{1} και \epsilon_{2}, εργαζόμαστε ως εξής:

\bullet Θεωρούμε διανύσματα \vec{\delta_{1}} \parallel \epsilon_{1} και \vec{\delta_{2}} \parallel \epsilon_{2}.

\bullet Βρίσκουμε τη γωνία \omega = (\widehat{\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta}_{2}}) χρησιμοποιώντας τη σχέση:

    \[\sigma\upsilon\nu(\widehat{\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta}_{2}}) = \frac{\vec{\delta_{1}} \cdot \vec{\delta_{2}}}{\lvert\vec{\delta_{1}}\rvert \lvert \vec{\delta_{2}\rvert}}.\]

\bullet Αν \sigma\upsilon\nu(\widehat{\vec{\delta_{1}}, \vec{\delta}_{2}}) > 0, τότε \omega < 90^{\circ} και η ζητούμενη γωνία είναι η:
Συνέχεια ανάγνωσης ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ →

Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΙ ΓΝΩΣΤΗ ΓΩΝΙΑ ΜΕ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ

Σχολιάστε

ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΙ ΓΝΩΣΤΗ ΓΩΝΙΑ ΜΕ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΙ ΓΝΩΣΤΗ ΓΩΝΙΑ ΜΕ ΑΛΛΗ ΕΥΘΕΙΑ →