Αρχείο ετικέτας ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΡΙΖΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΙΔΙΟ ΥΠΟΡΡΙΖΟ

Σχολιάστε

Για να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης όπου ο τύπος της περιέχει ρίζες διαφορετικής τάξης οι οποίες όμως έχουν το ίδιο υπόρριζο, δηλαδή ολοκλήρώματα της μορφής:

    \[\int_{\alpha}^{\beta}f\big( x, \sqrt[\nu]{kx+\lambda}, \sqrt[\mu]{kx+\lambda}\big)\,\, dx, \quad k\in \rr^{*}\]

εργαζόμαστε ως εξης:

  • Βρίσκουμε το Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων των ριζών π.χ. EK\Pi(\nu, \mu)=\gamma.
  • Θέτουμε \sqrt[\gamma]{kx+\lambda} =u\Rightarrow kx+\lambda = u^{\gamma}.
  • Οπότε ( kx+\lambda)' \, dx = ( u^{\gamma})' du \Rightarrow k\cdot dx = \gamma u^{\gamma -1} du.
  • Γράφουμε τα ριζικά \sqrt[\nu]{kx+\lambda}, \sqrt[\mu]{kx+\lambda}, ως δυνάμεις του u και κάνουμε την αντικατάσταση.


    • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΡΙΖΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΙΔΙΟ ΥΠΟΡΡΙΖΟ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Σχολιάστε

    ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Για την ολοκλήρωση άρρητης συναρτήσης, δηλαδή για ολοκληρώματα που περιέχουν ν-οστη ρίζα της μορφής:

        \[\int_{\alpha}^{\beta} f\Bigg(x,\sqrt[\nu]{g(x)}\Bigg) \,\, dx\]

    Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της αντικατάστασης θέτοντας:

        \[\sqrt[\nu]{g(x)} = u \Rightarrow g(x)=u^{\nu} \quad (1.)\]

    Οπότε έχουμε:

        \[g'(x)\, dx= \nu u^{\nu -1}\, du\]

    Η μέθοδος την αντικατάστασης εφαρμόσιμη και έχει αξία όταν είναι εφικτή η επίλυση της εξίσωσης (1.)
    ως προς x.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

    Σχολιάστε

  • Στις περιπτωσεις υπολογισμου ορισμένου ολοκληρώματος που που περιέχει πρωτοβάθμιο πολυώνυμο της μορφής:
    \dint_{\alpha}^{\beta} f\big ( x, (\kappa x +\lambda)^{2}\big) \,dx \,\, \text{ή} \,\, \dint_{\alpha}^{\beta} f\big ( x, (\kappa x +\lambda)^{3}\big) \,dx, \, \kappa \in \rr^{*}
    εκτελουμε τις γνωστές ταυτότητες.

    • Παράδειγμα.1.
    Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{1}(x-1)^{2}\cdot (3x+2) dx.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ – ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

    Σχολιάστε

    Η μέθοδος της ολοκληρωσης με αντικατατάσταση ( ή αλλαγη μεταβλητής ) περιγράφεται από τον τύπο:

        \[\int_{\alpha}^{\beta} f\Big( g(x)\Big) \cdot g'(x) dx = \int_{u_{1}}^{u_{2}} f(u) du.\]

    όπου f και g' συνεχείς συναρτήσεις με u = g(x), \, du =g'(x) dx και u_{1}= g(\alpha), u_{2} =g(\beta).

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ – ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ

    Σχολιάστε

    Αν στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου, στον παρονομαστή υπάρχει ως παράγοντας τριωνυμο που δεν παραγοντοποιειται.
    Τότε το αντίστοιχο κλάσμα της αρχικής μορφοποίησης γίνεται:

        \[\dfrac{Ax+B}{\alpha x^{2}+\beta x +\gamma}\]

    Παράδειγμα.1.

    Να υπολογισθεί το ορισμένο ολοκλήρωμα της παρακάτω ρητής συνάρτησης:

        \[\int_{-1}^{0}\dfrac{x+1}{x^{3}-1}\, dx.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ – ΙΣΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

    Σχολιάστε
    Στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος απο τον βαθμό του πολυωνύμου του παρονομαστή. Εκτελούμε την διαίρεση P(x): Q(x) και γράφουμε:

        \[I= \int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{Q(x)}dx\]

        \[I= \int_{\alpha}^{\beta}P(x)+\dfrac{\upsilon(x)}{Q(x)}dx\]

    Παράδειγμα
    Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα της ρητής συνάρτησης:

        \[\int_{0}^{1}\dfrac{x^{3}-2x-9}{x^{2}-2x-3}dx.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ – ΙΣΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΙΡΚΟΤΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΒΑΘΜΟ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

    3 σχόλια

    Στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή είναι μικρότερος απο τον βαθμό του πολυωνύμου του παρονομαστή προσπαθούμε να γράψουμε τον παρονομαστή ως γινόμενο πρωτοβάθμιων πολυωνύμων και στη συνέχεια την ρητη συνάρτηση ως άθροισμα κλασμάτων με παρονομαστή τον κάθε ένα απο τους παράγοντες που βρήκαμε.

        \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{Q(x)}dx =\]

        \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{(\alpha_{1}x+\beta_{1})\cdots(\alpha_{\nu}x+\beta_{\nu} )}dx =\]

        \[\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\dfrac{A_{1}}{\alpha_{1}x+\beta_{1}}+\cdots +\dfrac{A_{\nu}}{\alpha_{\nu}x+\beta_{\nu}}\Big) dx =\]

        \[\dfrac{A_{1}}{\alpha_{1}}\Big[\ln |\alpha_{1}x+\beta_{1}|\Big]_{\alpha}^{\beta}+ \cdots + \dfrac{A_{\nu}}{\alpha_{\nu}}\Big[ \ln |\alpha_{\nu}x +\beta_{\nu}|\Big]_{\alpha}^{\beta}\]



    Παράδειγμα
    Να υπολογισθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα ρητης συνάρτησης:

        \[\int_{0}^{1}\dfrac{5x-3}{x^{2}-2x-3}\, dx.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΙΡΚΟΤΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΒΑΘΜΟ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    Ο ΑΡΙΘΜΗΤΗΣ ΕΙΝΑΙ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

    1 σχόλιο

    Ο ΑΡΙΘΜΗΤΗΣ ΕΙΝΑΙ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

    Στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου ο αριθμητής είναι η παράγωγος του παρονομαστή γράφουμε

        \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{Q(x)}dx =\]

        \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{Q'(x)}{Q(x)}dx =\]

        \[\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\ln \big|{Q(x)}\big|\Big)'dx =\]

        \[\Big[\ln \big|{Q(x)}\big|\Big]_{\alpha}^{\beta}\]


    Παράδειγμα
    Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

        \[Ι = \int_{0}^{1} \dfrac{2x+3}{x^{2}+3x+5}dx.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης Ο ΑΡΙΘΜΗΤΗΣ ΕΙΝΑΙ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ →

    Γ Λυκείου / ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

    ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΤΟ ΤΕΧΝΑΣΜΑ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΤΗΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ

    Σχολιάστε

    Στο ορισμένο ολοκλήρωμα που ακολουθεί, θα υπολογισθεί εφαρμόζοντας την παραγοντική ολοκλήρωση, κάνοντας χρήση του τεχνάσματος της προσθαφαίρεσης της εκθετικής συνάρτησης

        \[{\bf{e^{x}}}.\]


    Παράδειγμα
    Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

        \[Ι = \int_{0}^{1} \dfrac{\ln (1+e^{x})}{e^{x}}dx.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΤΟ ΤΕΧΝΑΣΜΑ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΤΗΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

    ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΣΕ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕ ΑΝΑΓΩΓΙΚΟ ΤΥΠΟ

    Σχολιάστε

    Στις περιπτώεις που έχουμε αναγωγικό τύπο στο ορισμένο ολοκλήρωμα εφαρμόζουμε την μέθοδο της παραγοντικής ολοκλήρωσης, όπως στο παράδειγμα που ακολουθεί:
    Παράδειγμα.
    Έστω το ορισμένο ολοκλήρωμα:

        \[I_{\nu} =\int_{0}^{1} x^{\nu} \cdot e^{x} \, dx \quad \text{με } \,\,\, \nu \in \mathbb{N^{*}}\]


    i) Να αποδείξετε ότι: I_{\nu} =e -\nu I_{\nu-1} για κάθε \nu \geq 2.
    ii) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:
    \quad \quad \quad \dint_{0}^{1} xe^{x}\, dx και \dint_{0}^{1} x^{4}e^{x}\, dx.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΣΕ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕ ΑΝΑΓΩΓΙΚΟ ΤΥΠΟ →