Αρχείο ετικέτας ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Γ Λυκείου / ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΕΠΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ

Σχολιάστε
Τα ολοκληρώματα της μορφής γινομένου, πολυωνυμικής επι λογαριθμικής

    \[\int_{\alpha}^{\beta} P(x)\ln(\kappa x)dx,\]

με \kappa\in\rr^* και P(x) ένα πολυώνυμο, μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια της παραγοντικής ολοκλήρωσης, γράφοντας το πολυώνυμο ως παράγωγο μιας αρχικής του.

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΕΠΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ →

Γ Λυκείου / ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΕΠΙ ΗΜΙΤΟΝΟ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ

1 σχόλιο
Έστω \kappa\in\rr^* και P(x) ένα πολυώνυμο. Ολοκληρώματα της μορφής

    \[\int_{\alpha}^{\beta} P(x)\hm(\kappa x+\lambda)dx \quad \text{ή} \quad \int_{\alpha}^{\beta} P(x)\syn(\kappa x+\lambda)dx\]

μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια της παραγοντικής ολοκλήρωσης, γράφοντας το τριγωνομετρικό όρο ως παράγωγο μιας αρχικής του. Συγκεκριμένα είναι

    \[ \hm(\kappa x+\lambda)=\Bigg(-\dfrac{\syn(\kappa x+\lambda)}{\kappa}\Bigg)' \]

ΚΑΙ

    \[\syn(\kappa x+\lambda)=\Bigg(\dfrac{\hm(\kappa x+\lambda)}{\kappa}\Bigg)' \]

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΕΠΙ ΗΜΙΤΟΝΟ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ →

Γ Λυκείου / ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΕΠΙ ΕΚΘΕΤΙΚΗ

3 σχόλια

Η μέθοδος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες ή παραγοντική ολοκλήρωση για το ορισμένο ολοκλήρωμα εκφράζεται απο τον τύπο:

    \[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)g'(x)dx=\Big{[}f(x)g(x)\Big{]}^{\beta}_{\alpha}-\int_{\alpha}^{\beta} f'(x)g(x)dx\]

όπου f' και g' είναι συνεχής συναρτήσεις στο [\alpha,\beta].


Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΕΠΙ ΕΚΘΕΤΙΚΗ →

Γ Λυκείου / ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΧΕΣΗ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Σχολιάστε

Ξέρουμε ότι: το ορισμένο ολοκλήρωμα \dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx είναι σταθερός αριθμός.
Δηλαδή \dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx =c, \quad c\in \rr, οπότε θα ισχύει: \bigg(\dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx\bigg)'=0.
Συνεπώς στην περίπτωση που έχουμε μια ισότητα I η οποία περιέχει τις f(x), f(x) και το \dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx και θέλουμε να βρούμε την f τότε:

  • Θέτουμε c=\dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx \quad (1.)
  • Αντικαθιστούμε στη σχέση I το \dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx με το c
  • Βρίσκουμε την συνάρτηση f συναρτήσει του c και
  • Την αντικαθιστούμε στη σχέση (1).

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΧΕΣΗ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ →

Γ Λυκείου / ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ

Σχολιάστε

Για να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f που περιέχει απόλυτη τιμή, κάνουμε χρήση του ορισμού της απόλυτης τιμής και γράφουμε τον τύπο της f χωρίς το απόλυτο. Τότε η f γίνεται πολλαπλού τύπου και μπορούμε να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα.

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ →

Γ Λυκείου / ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

Σχολιάστε
‘Οταν έχουμε μια συνάρτηση της μορφής:

    \[f(x)=\kladoidyo{f_1(x)}{x\leq x_o}{f_2(x)}{x>x_o}\]

Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα

    \[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx\]

με \alpha<x_o<\beta εργαζόμαστε ως εξής:

  • Για να έχει νόημα το

        \[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx\]

    πρέπει η f να είναι συνεχής στο [\alpha, \beta] άρα και στο x_0.

  • Επίσης:

        \begin{eqnarray*} \int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx&=&\int_{\alpha}^{x_0} f(x)dx+\int_{x_0}^{\beta} f(x)dx\\ &=&\int_{\alpha}^{x_0} f_1(x)dx+\int_{x_0}^{\beta} f_2(x)dx\\ &=&... \end{eqnarray*}

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ →

    Γ Λυκείου / ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

    ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

    1 σχόλιο
    Γενικά, για να υπολογίσουμε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f, στο [\alpha ,\beta], θα πρέπει να είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε την αρχική (παράγουσα) συνάρτηση G της f.
    Δηλαδή εάν G, είναι μια παράγουσα της f, με f(x)=G'(x) τότε για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος έχουμε:

        \[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta}G'(x)dx = \Big[ G(x)\Big]_{\alpha}^{\beta}.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ →

    Γ Λυκείου / ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

    ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛOΚΛΗΡΩΜΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ

    Σχολιάστε

    Παράδειγμα.1.
    Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

        \[\int_{1}^{2} 6x^2ydx\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛOΚΛΗΡΩΜΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ →

    Γ Λυκείου / ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

    ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΚΡΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

    Σχολιάστε

    Παράδειγμα
    Να βρείτε το πραγματικό αριθμό \alpha για τον οποίο ισχύει:

        \[\int_{-\alpha}^{\alpha} (4x+6)dx=36\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΚΡΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

    ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

    Σχολιάστε
    Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ένα διάστημα [\alpha,\beta].
    Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [\alpha,\beta], τότε

        \[\int_{\alpha}^{\beta} f(t)dt=G(\beta)-G(\alpha)\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ →