Αρχείο ετικέτας ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ

9.19 ΘΕΜΑ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

9.19 ΘΕΜΑ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ
Συνέχεια ανάγνωσης 9.19 ΘΕΜΑ ΣΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

10.15 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΣΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

10.15 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΣΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης 10.15 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΣΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΜΑ 4

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΜΑ 4

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΜΑ 4

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΑΙ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 8

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΑΙ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 8

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΑΙ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 8

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

 

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Φ12/201

     \text{Να λυθεί η παρακάτω άσκηση} \begin{enumerate} \item Δίνεται η συνάρτηση $ f(x) = x^{2} -2 -\syn x.$ \begin{enumerate} \item Να δείξετε ότι η $ f$ είναι γνησίως αύξουσα στο \\$ \Delta = [0,\dfrac{\pi}{2}].$ \item Να βρείτε το $ f(\Delta)$ και να δείξετε ότι εξίσωση $$ x^{2} = 2+\syn x$$ έχει μοναδική λύση $ (0, \dfrac{\pi}{2}).$ \item Να βρεὶτε το $ \displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)+3}{x}.$ \item Να βρειτε το $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x).$ \item Να λύσετε στο $ [0, \dfrac{\pi}{2}]$ την εξίσωση: $$ f(x)+f(x^{2})+f(x^{2007}) =-9.$$ \end{enumerate} \end{enumerate}

ΛΥΣΗ
Συνέχεια ανάγνωσης Φ12/201

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

Παράδειγμα.
Έστω η συνάρτηση f: \rr \to \rr για την οποία ισχύει

    \[f(x^{2}+6)+ f(5x) = 0, \quad x\in \rr.\]

Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συναρτησης f τέμνει τον άξονα x'x σε δύο τουλάχιστον σημεία.

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Παράδειγμα.1.
Αν για την συνάρτηση f, ισχύει, για κάθε x,  y \in (0,+\infty)

    \[f(x\cdot y) = f(x)+ f(y)\]

Να δείξετε ότι
i) Αν η f είναι συνεχής στο x_{0} =1, τότε είναι συνεχής στο (0, +\infty)
ii) Αν η f είναι συνεχής για κάθε \alpha \in (0,+\infty) και \alpha \neq 1
τότε η f είναι συνεχής σε όλο το διάστημα (0 , +\infty).
Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1

Παράδειγμα.
Αν για την συνάρτηση ισχύει:

    \begin{displaymath} 		       f(x\cdot y) = f(x) +f(y), \quad x,y \in \mathbb{R^{*}} 		      \end{displaymath}

Να δείξετε ότι:

i) f(1) =0

ii) f\bigg(\dfrac{1}{x}\bigg) = -f(x)

iii) f\bigg(\dfrac{x}{y}\bigg) = f(x) -f(y)

iv)Αν επιπλέον η f(x) =0 \, ισχύει μόνο για \, x =1 \, τότε η f \, είναι 1-1.
Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1