Αρχείο ετικέτας ΣΥΝΘΕΤΟ ΟΡΙΟ

ΑΝΑΓΚΑΣΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΟΡΙΩΝ

Έστω οτι έχουμε να υπολογίσουμε ένα σύνθετο όριο απροσδιόριστης μορφής που περιέχει την συνάρτηση f(x). Εάν γνωρίζουμε ότι \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\pm \infty τότε:

  • Βγάζουμε κοινό παράγοντα το f(x) στη μεγαλύτερη δύναμη.
  • Στους προσθετέους που δεν υπάρχει κοινος παράγοντας κάνουμε αναγκαστική παραγοντοποίηση και δημιουργούνται κλάσματα της μορφής \dfrac{1}{\big(f(x)\big)^{\nu}}, με \nu \in \mathbb{Ν}^{*}
  • Ισχύουν οι ιδιότητες:

    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΑΓΚΑΣΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΟΡΙΩΝ

    ΧΡΗΣΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ

    Αν έχουμε ως δεδομένο το όριο μιας παράστασης που περιέχει τη συνάρτηση f(x) και ζητείται το όριο της f(x) τότε:

    • Θέτουμε την παράσταση g(x).
    •   Λύνουμε την πράσταση ως προς f(x).
    •   Υπολογίζουμε το όριο της f(x) με δεδομένο το όριο της g(x).

    Συνέχεια ανάγνωσης ΧΡΗΣΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ

    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

    Παράδειγμα
    Δίνεται η συνάρτηση f:\RR\rightarrow\RR για την οποία ισχύει:

        \[\hm^2x\leq f(x)+2x\syn x\leq x^2, \forall x \in \rr\]

    Να βρείτε τα όρια:

        \[ \newcounter{afa} \newcommand{\afa }{% \stepcounter{afa}% %exartate \alph{tbc})\ } %exartate \Alph{tbc})\ } \roman{afa})\ } \begin{tabular}{ l l } .\afa $\,\,\orio{x}{0}{f(x)}\quad$ & .\afa $\,\,\orio{x}{0}{\dfrac{f(x)+2x}{x^2}}$ \\ \end{tabular} \]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    Παράδειγμα.
    Δίνεται η συνάρτηση f:\RR\rightarrow\RR για την οποία ισχύει

        \[\orio{x}{0}{\dfrac{f(x)-\hm x}{\sqrt{x+1}-1}}=6\]

    Να υπολογίσετε τα όρια:

        \[ \newcounter{afa} \newcommand{\afa }{% \stepcounter{afa}% %exartate \alph{tbc})\ } %exartate \Alph{tbc})\ } \roman{afa})\ } \begin{tabular}{ l l l} .\afa $\,\,\orio{x}{0}{f(x)}$ & .\afa $\,\,\orio{x}{0}{\dfrac{f(x)}{x}}$ & .\afa $\,\,\orio{x}{0}{\dfrac{xf(x)-\hm^2 x}{\sqrt{x^2+4}-2}}$\\ \end{tabular} \]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΡΙΖΙΚΑ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕ ΤΟ ΙΔΙΟ ΥΠΟΡΡΙΖΟ

    Όταν σε ένα όριο απροσδιόριστης μορφής \dfrac{0}{0} εμφανίζονται ριζικά

        \[(\sqrt[\kappa]{f(x)}\sqrt[\lambda]{f(x)},\cdots )\]

    διαφορετικών τάξεων, αλλά με την ίδια υπόρριζα ποσότητα, τότε θέτουμε:

        \[\sqrt[\rho]{f(x)}=u\]

    όπου \rho είναι το Ε.Κ.Π. των τάξεων ριζών.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΡΙΖΙΚΑ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕ ΤΟ ΙΔΙΟ ΥΠΟΡΡΙΖΟ

    ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΕΠΙ ΦΡΑΓΜΕΝΗ

    Έστω ένα όριο της μορφής:

        \[\lim_{x\to x_{o}}(f(x)\cdot g(x))\]

    όπου f,g συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει:

    • \displaystyle\lim_{x\to x_{o}}f(x)=0, δηλαδή η f είναι “μηδενική” συνάρτηση.
    • |g(x)|\leq M, όπου M>0, δηλαδή η g είναι μια φραγμένη συνάρτηση.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΕΠΙ ΦΡΑΓΜΕΝΗ

    ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    ΟΡΙΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ

    Όταν σε ένα όριο άρρητης συνάρτησης της μορφής \dfrac{0}{0}, εμφανίζονται παράστασεις της μορφής

        \[\sqrt[\nu]{f(x)}\pm\sqrt[\mu]{g(x)}\pm\lambda\]

    τότε εργαζόμαστε ως εξής:

  • Διασπάμε τον αριθμό \lambda σε δύο αριθμούς. Οι αριθμοί αυτοί είναι αντίθετοι των τιμών που θα προκύψουν από τις \sqrt[\nu]{f(x)} και \sqrt[\mu]{g(x)}, αν θέσουμε σε αυτές όπου το x το x_{o}.
  • Χωρίζουμε το κλάσμα σε δύο κλάσματα που το καθένα περιέχει από μία ρίζα και τον αντίστοιχο αριθμό.
  • Κάθε κλάσμα είναι της μορφής \dfrac{0}{0} και πολλαπλασιάζουμε τους όρους με την κατάλληλη συζυγή παράσταση.
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ

    ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

    Δίνεται συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} παραγωγίσιμη στο 2 με f'(2)=1
    Να υπολογίσετε τα όρια:

    i) \displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac{f(2+4h)-f(2)}{h}

    ii)\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(2+4h)-f(2-h)}{h}
    Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

    ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ

    Δίνεται συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} παραγωγίσιμη στο 0 με f'(0)=2
    Να υπολογίσετε τα όρια

    i) \displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(2x)-f(0)}{x}

    ii)\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(7x)-f(3x)}{x}
    Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ