ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΡΙΖΙΚΑ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕ ΤΟ ΙΔΙΟ ΥΠΟΡΡΙΖΟ

Όταν σε ένα όριο απροσδιόριστης μορφής $\dfrac{0}{0}$ εμφανίζονται ριζικά

$(\sqrt[\kappa]{f(x)}\sqrt[\lambda]{f(x)},\cdots )$

διαφορετικών τάξεων, αλλά με την ίδια υπόρριζα ποσότητα, τότε θέτουμε:

$\sqrt[\rho]{f(x)}=u$

όπου $\rho$ είναι το Ε.Κ.Π. των τάξεων ριζών.

Παράδειγμα
Να υπολογίσετε το όριο $\orio{x}{2}{\dfrac{\sqrt{x-1}+\sqrt[3]{x-1}-2}{\sqrt[6]{x-1}-1}}.$

Λύση

Στο όριο εμφανίζονται ρίζες με την ίδια υπόρριζη ποσότητα και τάξεις $2$ , $3$ και $6$ . Έχουμε Ε.Κ.Π. $(2,3,6)=6$ , οπότε θέτουμε:

$u=\sqrt[6]{x-1}$

Έχουμε:

$u_{0}=\orio{x}{2}{\sqrt[6]{x-1}}=\sqrt[6]{2-1}=1$

Επίσης είναι:

$u^3=\sqrt[6]{x-1}^3=\sqrt{x-1}$

και

$u^2=\sqrt[6]{x-1}^2=\sqrt[3]{x-1}$

Έτσι το όριο γίνεται:

$\begin{eqnarray*} \orio{x}{2}{\dfrac{\sqrt{x-1}+\sqrt[3]{x-1}-2}{\sqrt[6]{x-1}-1}} &=& \orio{u}{u_0}{\dfrac{u^3+u^2-2}{u-1}}=\\ &=& \orio{u}{1}{\dfrac{u^3+u^2-2}{u-1}}= \bigg(\dfrac{0}{0}\bigg)\\ \end{eqnarray*}$

Για να άρουμε την απροσδιοριστία θα πρεπει να παραγοντοποιήσουμε τον αριθμητή, ο οποίος έχει μια ριζα την $u =1.$
Δηλαδη για το πολυώνυμο $u^3+u^2-2$ κάνουμε σχήμα Horner με το $1$ και έχουμε:

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνεπώς $u^3+u^2-2 = (u-1)(u^2+2u+2)$

$\begin{align*} \displaystyle\lim_{x\to 2} \dfrac{\sqrt{x-1}+\sqrt[3]{x-1}-2}{\sqrt[6]{x-1}-1} =& \displaystyle\lim_{u\to 1}\dfrac{u^3+u^2-2}{u-1}\\\\ =& \displaystyle\lim_{u\to 1}\dfrac{(u-1)\cdot(u^{2}+2u+2)}{u-1}\\\\ =& \displaystyle\lim_{u\to 1}(u^{2}+2u+2)=5. \end{align*}$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΡΙΖΙΚΑ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΚΑΙ ΜΕ ΤΟ ΙΔΙΟ ΥΠΟΡΡΙΖΟ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά