Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση
![\[f(x)=\frac{\alpha x^2+\beta x}{x-2}, \quad \alpha,\beta\in\rr\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4b705bec6909f37c96351643ffb80dd0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Να βρείτε τις τιμές των 
και 
ώστε η ευθεία 
είναι ασύμπτωτη της 
στο 
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Αρχείο ετικέτας ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ
ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ
Έστω μια συνάρτηση 
η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα 
Για να είναι η κυρτή (αντίστοιχα κοίλη) στο 
αρκεί να ισχύει 
(αντίστοιχα 
) για κάθε 
και η ισότητα 
να ισχύει για διακεκριμένες τιμές του 
Συνέχεια ανάγνωσης ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ
ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ
Έστω μια συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα 
της οποίας ο τύπος περιέχει μια παράμετρο.
Αν θέλουμε να βρούμε τις τιμές της παραμέτρου, ώστε η γραφική παράστσταση, 
να έχει σημείο καμπής στο 
τότε απαιτούμε να ισχύει
![\[f''(x_0)=0.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-714d13277982e0b33b23830ff29c20f2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ
Αν μια εξίσωση περιέχει μια πραγματική, παράμετρο 
τότε για να βρούμε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης για τις διάφορες τιμές του εργαζόμαστε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ
ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ
Αν έχουμε ως δεδομένο μια ανισότητα της μορφής
![\[f(x)\leq g(x) \quad \text{ή} \quad f(x)\geq g(x)\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-690301e00a51ac657576cd245c1b1669_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
για κάθε και το ζητούμενο είναι να αποδείξουμε μια ισότητα τότε εργαζόμαστε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ
ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ
Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση δεν έχει ακρότατα, συνήθως εργαζόμαστε με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, Υποθέτουμε δηλαδή ότι η παρουσιάζει ακρότατο σε κάποιο σημείο το οποίο είναι εσωτερικό ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της 
οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat ισχύει ότι 
Με τη βοήθεια αυτής της σχέσης προσπαθούμε να καταλήξουμε σε άτοπο.
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ
ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Όταν ο τύπος μιας συνάρτησης περιέχει παραμέτρους και γνωρίζουμε ότι η παρουσιάζει ακρότατο στο τότε για να βρούμε τις παραμέτρους εργαζόμαστε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση 
Να βρείτε για ποιές τιμές του η είναι γνησίως αύξουσα στο 
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ
Παράδειγμα.1.
Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου 
ώστε να υπάρχει το όριο στο άπειρο και να ισχύει:
![\[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-10dfb982544f60c48c5e9d7d61c3f6da_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ