Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση
![\[f(x)=\frac{\alpha x^2+\beta x}{x-2}, \quad \alpha,\beta\in\rr\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4b705bec6909f37c96351643ffb80dd0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Να βρείτε τις τιμές των 
και 
ώστε η ευθεία 
είναι ασύμπτωτη της 
στο 
Λύση
Η συνάρτηση
![\[f(x)=\frac{\alpha x^2+\beta x}{x-2}\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-276ec23e287e747761ad8f96ecc8bcb0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
έχει πεδίο ορισμού το 
Αφού η έχει πλάγια ασύμπτωτη την στο 
ισχύουν:
![\[\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=2 \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}(f(x)-2x)=-1\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fc05dc212919010af001caf2e3f9c3b9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Έχουμε:
Αν 
τότε έχουμε:
![\[(1) \Rightarrow\lim_{x \to +\infty}\frac{\alpha x^2+\beta x}{x^{2}-2x}=2 \Rightarrow\lim_{x \to +\infty}\frac{\alpha x^{2}}{x^{2}}=2\Leftrightarrow \alpha = 2.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bed594671be5ec6748d1d4d5779af487_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Αν 
τότε έχουμε:
![\[(1) \Rightarrow &\lim_{x \to +\infty}\frac{0\cdot x^2+\beta x}{x^{2}-2x}=2 \Rightarrow \lim_{x \to +\infty}\frac{\beta x}{x^{2}}=2\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1a7ebbeee0f7892b576f32b92aab5051_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
όπου για κάθε τιμή του 
το παραπάνω όριο μας κάνει 
οπότε άτοπο.
Έτσι ο τύπος της συνάρτησης 
για 
γίνεται:
![\[f(x)=\dfrac{2x^2+\beta x}{x-2}\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2211056c0e64fbcfd63249ee55472be6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
και έχουμε:
Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .