ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΜΤ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι:

Συνεχής στο κλειστό διάστημα $[\alpha,\beta]$

Παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα $(\alpha,\beta)$

Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(\alpha,\beta)$ τέτοιο ώστε:

$f'(\xi)=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$

Παράδειγμα
Δίνεται η συνάρτηση

$f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $x^2+\alpha x+\beta, \quad x\leq1$ \\ $2x^2-(\beta+1)x+2\beta-1, \quad x>1$ \end{tabular} \right.$

με $\alpha,\beta\in\mathbb{R}.$
Αν για την $f$ εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ στο $[-1,3].$
i) Να βρείτε τις τιμές των $\alpha$ και $\beta$
ii) Να εφαρμόσετε το Θ.Μ.Τ για την $f$ στο $[-1,3].$
Λύση
Εφόσον για την $f$ ισχύει το Θ.Μ.Τ στο $[-1,3]$ πρέπει η $f$ να είναι συνεχής στο $[-1,3].$
Άρα και στο $x_{0}=1$ όπου αλλάζει τύπο η συνάρτηση οπότε θα ισχύει:

$\lim_{x \to 1^-}f(x)=\lim_{x \to 1^-}(x^2+\alpha x+\beta) =\alpha+\beta+1$

Επίσης

$\lim_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x \to 1^+}(2x^2-(\beta+1)x+2\beta-1) =\beta$

$f(1)=\alpha+\beta+1$

Επομένως για να είναι $\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=f(1),$ έχουμε:
$\alpha+\beta+1=\beta \Leftrightarrow \alpha=-1$
Συνεπώς η συνάρτηση $f$ για $\alpha=-1$ γίνεται:

$f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $x^2 -x+\beta, \quad x\leq1$ \\ $2x^2-(\beta+1)x+2\beta-1, \quad x>1$ \end{tabular} \right.$

Επίσης η $f$ πρέπει να είναι παραγωγίσιμη στο $[-1,3]$ .
Η $f$ είναι παραγωγίσιμη για $x<1$ και $x>1$ ως πολυωνυμική.
Για να είναι παραγωγίσιμη στο $1$ πρέπει:

$\lim_{x \to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x \to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\in \rr$

Έχουμε:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1^-}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}&=&\lim_{x \to 1^-}\dfrac{x^2-x+\beta-\beta}{x-1}\\\\ &=&\lim_{x \to 1^-}\dfrac{x(x-1)}{x-1}\\\\ &=&1 \end{eqnarray*}$

Επίσης

$\begin{eqnarray*} &\displaystyle\lim_{x \to 1^+}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to 1^+}\dfrac{2x^2-(\beta+1)x+2\beta-1-\beta}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to 1^+}\dfrac{2x^2-\beta x-x+\beta-1}{x-1}=\\\\\ &\displaystyle\displaystyle\lim_{x \to 1^+}\dfrac{2x^2-x-1-\beta(x-1)}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to 1^+}\dfrac{2(x-1)(x+\dfrac{1}{2})-\beta(x-1)}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to 1^+}\dfrac{(x-1)(2x+1)-\beta \cdot (x-1)}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to 1^+}\dfrac{(x-1)\cdot \Big[(2x+1)-\beta\Big]}{x-1}=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to 1^+}\Big[(2x+1)-\beta\Big]=\\\\ &\displaystyle\lim_{x \to 1^+}(2x+1-\beta)= 3-\beta \end{eqnarray*}$

Επομένως έχουμε:

$\begin{align*} &3-\beta=1 \Leftrightarrow\\ &\beta=2 \end{align*}$

Επειδή για την $f$ εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ έχουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(-1,3)$ τέτοιο ώστε:

$f'(\xi)= \dfrac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)} =\dfrac{12-4}{4} =2$

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββαλα

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά