ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΙΣΑ ΥΠΟΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ

Περίπτωση 1
Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχουν $\xi_1,\xi_2,\xi_3,...,\xi_{\nu}\in(\alpha,\beta)$ για τα οποία ισχύει
$f'(\xi_1)+f'(\xi_2)+...+f'(\xi_{\nu})=\lambda$ τότε πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα $[\alpha,\beta]$ σε $\nu$ υποδιαστήματα και εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ σε καθένα πο αυτά.

Αν έχουμε δεδομένα για τιμές της $f$ στο $[\alpha,\beta]$ , τότε αυτές μας δείχνουν με ποιον τρόπο θα χωρίσουμε το $[\alpha,\beta]$ σε υποδιαστήματα.

Παράδειγμα.1.
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\rr\rightarrow\rr$ για την οποία ισχύουν

$f(1)=2, \quad f(2)=4 \quad \text{και} \quad f(4)=3$

να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\xi_1,\xi_2\in(1,4),$ διαφορετικά μεταξύ μεταξύ τους ώστε οι εφαπτομένες της $C_f$
στα σημεία της $A(\xi_1, f(\xi_1))$ και $B(\xi_2, f(\xi_2))$ να είναι κάθετες μεταξύ τους.

Λύση
Έστω

$(\epsilon_{1}): y - f(\xi_{1}) = f'(\xi_{1})\cdot ( x -\xi_{1}),$

Η εφαπτομένη της $C_{f},$ στο σημείο $A(\xi_1, f(\xi_1)).$

Θεωρούμε επίσης

$(\epsilon_{2}): y - f(\xi_{2}) = f'(\xi_{2})\cdot ( x -\xi_{2}),$

Η εφαπτομένη της $C_{f},$ στο σημείο $B(\xi_2, f(\xi_2)).$

Για να είναι $(\epsilon_{1})\perp (\epsilon_{2})$ στα σημεία $A(\xi_1, f(\xi_1))$ και $B(\xi_2, f(\xi_2))$ με $\xi_1,\xi_2\in(1,4),$ διαφορετικά μεταξύ μεταξύ τους, θα πρέπει να δείξουμε ότι

$f(\xi_{1})\cdot f(\xi_{2}) =-1.$

Οπότε, πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα $[1,4]$ σε $2$ υποδιαστήματα και να εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ σε καθένα απο αυτά.
Αφού γνωρίζουμε ότι

$f(1)=2,\quad f(2)=4 \quad \text{και} \quad f(4)=3$

θα χωρίζουμε το διάστημα $[1,4]$ στα εξής υποδιαστήματα:

$[1,2] \quad \text{και} \quad [2,4]$

Η $f$ είναι συνεχής σε καθένα απο τα $[1,2]$ και $[2,4]$ και παραγωγίσιμη σε καθένα από τα $(1,2)$ και $(2,4)$ , αφού η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\rr$ . Επομένως σε καθένα από τα υποδιαστήματα εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ σύμφωνα με το οποίο:
υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi_1\in(1,2)$ τέτοιο ώστε:

$f'(\xi_1)=\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1} =\dfrac{4-2}{1} =2$

και υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi_2\in(2,4)$ τέτοιο ώστε:

$f'(\xi_2)=\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2} =\dfrac{3-4}{2} =-\dfrac{1}{2}$

Επομένως έχουμε ότι ισχύει:

$f'(\xi_1)f'(\xi_2)=2(-\dfrac{1}{2}) =-1$

Άρα οι εφαπτομένες της $C_f$ στα σημεία της $A(\xi_1, f(\xi_1))$ και $B(\xi_2, f(\xi_2))$ είναι κάθετες μεταξύ τους.

Περίπτωση 2
Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι υπάρχουν $\xi_1,\xi_2,\xi_3,...,\xi_{\nu}\in(\alpha,\beta)$ γαι τα οποία ισχύει
$f'(\xi_1)+f'(\xi_2)+...+f'(\xi_{\nu})=\lambda$ τότε πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα $[\alpha,\beta]$ σε $\nu$ υποδιαστήματα και
εφαρμόζουμε το Θ.Μ.Τ σε καθένα πο αυτά.

Όταν δεν έχουμε πληροφορίες για τιμές της $f$ στο $[\alpha,\beta]$ , τότε το χωρίζουμε σε $\nu$ ίσου πλάτους υποδιαστήματα. Καθένα από αυτά έχει πλάτος

$\frac{\beta-\alpha}{\nu}$

Παράδειγμα.2.
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία $A(1,1)$ και $B(5,9).$
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν $\xi_1,\xi_2\in(1,5)$ , διαφορετικά μεταξύ τους ώστε

$f'(\xi_1)+f'(\xi_2)=4$

Λύση
Αφού γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση διέρχεται από τα σημεία $A(1,1)$ και $B(5,9)$ , δηλαδή

$f(1)=1 \quad \text{και} \quad f(5)=9$

Πρέπει να χωρίσουμε το διάστημα $[1,5]$ σε $2$ υποδιαστήματα ίσου πλάτους τα οποία είναι τα $[1,3]$ και $[3,5]$ και να εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ σε καθένα από αυτά.
Η $f$ είναι συνεχής σε καθένα από τα $[1,3]$ και $[3,5]$ και παραγωγίσιμη σε καθένα από τα $(1,3)$ και $(3,5)$ , αφού η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}.$
Επομένως σε καθένα από τα υποδιαστήματα εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ σύμφωνα με το οποίο, υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi_1\in(1,3)$ τέτοιο ώστε:

$f'(\xi_1)=\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{f(3)-1}{2}$

και υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi_2\in(1,3)$ τέτοιο ώστε:

$f'(\xi_2)=\frac{f(5)-f(3)}{5-3}=\frac{9-f(3)}{2}$

Για τα παραπάνω $\xi_1,\xi_2\in(1,5)$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} &f'(\xi_1)+f'(\xi_2)=\frac{f(3)-1}{2}+\frac{9-f(3)}{2}=\\\\ &\frac{f(3)-1+9-f(3)}{2}=\frac{-1+9}{2}=\frac{8}{2}=4\\\\ \end{align*}$

Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββαλα

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΕ ΙΣΑ ΥΠΟΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΘΜΤ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά