ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ

Αν μια συνάρτηση $f$ είναι γνησίως μονότονη, τότε η $C_{f}$ τέμνει τον άξονα $x'x$ το πολύ μία φορά. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση $f(x)=0$ έχει το πολύ μία ρίζα.
Μια εξίσωση που δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο, μπορεί να λυθεί ως εξής:

Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.

Θέτουμε το πρώτο μέλος ίσο με $f(x),$ οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή $f(x)=0$

Βρίσκουμε με δοκιμές μία ρίζα της εξίσωσης $f(x)=0.$

Αποδεικνύουμε ότι η $f$ είναι γνησίως μονότονη, οπότε η εξίσωση

$f(x)=0$

έχει το πολύ μία ρίζα. Έτσι η ρίζα που βρήκαμε προηγουμένως είναι μοναδική.

Παράδειγμα
Να λυθεί η εξίσωση $e^{3-x}-1=\ln(x-2).$

Λύση

Για να έχει νόημα η εξίσωση θα πρέπει $x-2>0 \Leftrightarrow x>2.$
Στη συνέχεια μεταφέρουμε όλους τους όρους της εξίσωσης στο Α! μέλος και εξισώνουμε με το μηδέν δηλ.

$e^{3-x}-1=\ln(x-2)\Leftrightarrow e^{3-x}-1-\ln(x-2)=0.$

Θέτουμε

$f(x)=e^{3-x}-1-\ln(x-2)$

με $x>2$ οπότε η εξίσωση γίνεται: $e^{3-x}-1-\ln(x-2)=0 \Leftrightarrow f(x)=0$
Παρατηρούμε ότι μια προφανής ρίζα της εξίσωσης είναι η $x=3,$ αφού:

$\begin{align*} f(3) &= e^{3-3} -1-\ln(3-2)\\ &= e^0-1-\ln1\\ &=1-1-0=0 \end{align*}$

Θα μελετήσουμε τη συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία.
Έστω $x_{1}, x_{2} \in (2, +\infty)$ , με $x_{1}< x_{2}.$ Έχουμε:

$\begin{align*} &x_{1}< x_{2} \Leftrightarrow -x_{1}> -x_{2} \Leftrightarrow\\ &3-x_{1} > 3 -x_{2} \Leftrightarrow e^{3-x_{1}}>e^{3-x_{2}} \end{align*}$

Επίσης

$\begin{align*} &x_{1}< x_{2} \Leftrightarrow x_{1}-2< x_{2}-2 \Leftrightarrow\\ &\ln(x_{1}-2)< \ln(x_{2}-2) \Leftrightarrow -\ln(x_{1}-2)> -\ln(x_{2}-2) \end{align*}$

Προσθέτουμε τις παραπάνω ανισώσεις και έχουμε:

$\left\{ \begin{tabular}{ll} e^{3-x_{1}} >e^{3-x_{2}} \\\\ -\ln(x_{1}-2) > -\ln(x_{2}-2) \end{tabular} \right.\overset{+}{\Leftrightarrow}$

$\begin{align*} &e^{3-x_{1}}-\ln(x_{1}-2)>e^{3-x_{2}}-\ln(x_{2}-2) \Leftrightarrow\\ &e^{3-x_{1}}-1-\ln(x_{1}-2)>e^{3-x_{2}}-1-\ln(x_{2}-2) \Leftrightarrow \\ &f(x_{1})>f(x_{2}). \end{align*}$

Άρα η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως μονότονη, (γνησίως φθίνουσα) οπότε, η εξίσωση $f(x)=0$ έχει το πολύ μια ρίζα.
Επομένως η ρίζα $x=3$ είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης $f(x)=0,$ άρα και της αρχικής εξίσωσης.

Από την παρακάτω γραφική παράσταση της $f(x)=e^{3-x}-1-\ln(x-2)$ καταλαβαίνουμε ότι για να εχει η $f(x)$ και δεύτερη ρίζα θα πρεπει η $C_{f}$ να περάσει απο τον $x'x$ και δεύτερη φορά πράγμα που αντιβαινει στο γεγονός οτι η $f$ είναι γνησιως μονότονη (γν. φθίνουσα.)

Rendered by QuickLaTeX.com

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά