Γ Λυκείου / ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

ΟΡΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

‘Εστω η πολυωνυμική συνάρτηση

    \[P(x)=\alpha_{\nu}x^{\nu}+\alpha_{\nu-1}x^{\nu -1}+\cdots +\alpha_{1}x+\alpha_{0} \quad \text{με} \quad \alpha_{\nu}\neq 0.\]

Για να υπολογίσουμε τα όρια στο απειρο,\displaystyle\lim_{x\to +\infty}P(x) και \displaystyle\lim_{x\to-\infty}P(x) υπολογίζουμε, το όριο στο άπειρο, του μεγιστοβάθμιου όρου δηλαδη

    \[\lim_{x\to +\infty}P(x)=\lim_{x\to +\infty}\alpha_{\nu}x^{\nu}\]

και

    \[\lim_{x\to -\infty}P(x)=\lim_{x\to -\infty}\alpha_{\nu}x^{\nu}\]

Ισχύoυν ότι:

    \[\lim_{x\to +\infty}x^{\nu}=+\infty, \,\nu\in\mathbb{N}^*\]

και

    \[\lim_{x\to -\infty}x^{\nu}=\left\{ \begin{tabular}{ll} $+\infty, \quad \text{αν} \, \nu \, \text {άρτιος} $ \\ $-\infty , \quad \text{αν} \,\nu \, \text {περιττός,}$ \end{tabular} \right.\,\nu\in\mathbb{N}^*.\]

επίσης

    \[\alpha_{\nu}\cdot(+\infty)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $+\infty, \quad \text{αν} \, &\alpha_\nu >0. $ \\ $-\infty , \quad \text{αν} \, & \alpha_\nu <0.$ \end{tabular} \right.\]

και

    \[\alpha_{\nu}\cdot(-\infty)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $-\infty, \quad \text{αν} \, &\alpha_\nu >0. $ \\ $+\infty , \quad \text{αν} \, & \alpha_\nu <0.$ \end{tabular} \right.\]

Παράδειγμα.1.
Να υπολογισθεί το όριο

    \[\lim_{x\to -\infty}(-2x^{3}+5x^{2}-3x+2).\]

Λύση

‘Εχουμε:

    \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}(-2x^{3}+5x^{2}-3x+2)=\\ &\lim_{x\to -\infty}(-2x^{3})=\big(-2\cdot(-\infty)^{3}\big)=\\ & \quad \quad \quad \quad \quad \quad =-2\cdot(-\infty)=+\infty. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική, Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα, Παπακωνσταντίνου αυτοέκδοση.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *