ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ.

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση $f: \rr \to \rr,$ για την οποία, για κάθε $x>0,$ ισχύει:

$2x^{3}-x^{2}-3\leq f(x)\leq 2x^{3}+3x^{2}+5.$

Να υπολογισθούν τα όρια στο άπειρο:

$\newcounter{afa} \newcommand{\afa }{% \stepcounter{afa}% %exartate \alph{tbc})\ } %exartate \Alph{tbc})\ } \alph{afa})\ } \begin{tabular}{ l l } &\afa $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) \quad \quad $ \afa $\,\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x^{3}}.$ \end{tabular}$

Λύση.

$\alpha' )$ Έχουμε ότι:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(2x^{3}-x^{2}-3)=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}2x^{3}=+\infty,$

επίσης

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(2x^{3}+3x^{2}+5)= \displaystyle\lim_{x\to +\infty}2x^{3}=+\infty,$

Άρα από κριτήριο παρεμβολής έχουμε

$\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty.$

$\beta')$ Αφού για κάθε $x>0$ ισχύει ότι

$2x^{3}-x^{2}-3\leq f(x)\leq 2x^{3}+3x^{2}+5,$

μπορούμε να διαιρέσουμε όλα τα μέλη με $x^{3}>0,$ και έχουμε:

$\begin{align*} &2x^{3}-x^{2}-3\leq f(x)\leq 2x^{3}+3x^{2}+5=\\\\ &\dfrac{2x^{3}-x^{2}-3}{x^{3}}\leq \dfrac{f(x)}{x^{3}}\leq \dfrac{2x^{3}+3x^{2}+5}{x^{3}}. \end{align*}$

Όμως ισχύει:

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x^{3}-x^{2}-3}{x^{3}}\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x^{3}}{x^{3}}=2,$

επίσης

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x^{3}+3x^{2}+5}{x^{3}}\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x^{3}}{x^{3}}=2.$

Άρα απο κριτήριο παρεμβολής έχουμε ότι

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x^{3}}=2.$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ.

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά