ΟΡΙΟ ΛΟΓΑΡΙΘΜΗΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Για τον υπολογισμό των ορίων στο μηδέν και στο άπειρο των λογαριθμικών συναρτήσεων έχουμε τα παρακάτω

Αν $\alpha >1,$ τότε ισχύουν:
$\lim_{x\to 0^{+}}\log_{\alpha}x =-\infty \quad \text{και} \quad \lim_{x\to +\infty}\log_{\alpha}x +\infty$

Αν $0<\alpha <1,$ τότε ισχύουν:
$\lim_{x\to 0^{+}}\log_{\alpha}x =+\infty \quad \text{και} \quad \lim_{x\to +\infty}\log_{\alpha}x =-\infty$

Παράδειγμα.1.
Να βρεθεί το όριο

$\lim_{x\to 0^{+}}\big(\log x +\ln x\big)$

Λύση
Ισχύει ότι:

$\lim_{x\to 0^{+}}\big \log x =-\infty \quad \text{και } \quad \lim_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty.$

Οπότε

$\lim_{x\to 0^{+}}\big(\log x +\ln x\big)=(-\infty)+(-\infty) =-\infty.$

Παράδειγμα.2.
Να υπολογισθεί το όριο

$\lim_{x\to +\infty}\Big( \ln(x^{3}+4x)-\ln(x^{2}+2)\Big)$

Λύση
Έχουμε ότι

$\lim_{x\to +\infty}\Big( \ln(x^{3}+4x)-\ln(x^{2}+2)\Big)=\lim_{x\to +\infty}\Bigg(\ln\Big(\dfrac{x^{3}+4x}{x^{2}+2}\Big) \Bigg)$

Θέτουμε $u =\dfrac{x^{3}+4x}{x^{2}+2},$

Οπότε θα ισχύει

$\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{3}+4x}{x^{2}+2}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^{3}}{x^{2}}=\lim_{x\to +\infty} x =+\infty.$

ή αλλιώς όταν το $x\to +\infty$ τότε και το $u\to +\infty.$

Οπότε, για το αρχικό όριο θα έχουμε ότι:

$\begin{align*} &\lim_{x\to +\infty}\Bigg(\ln\Big(\dfrac{x^{3}+4x}{x^{2}+2}\Big) \Bigg)=\\\\ &\lim_{u \to +\infty}\ln u=+\infty. \end{align*}$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

2 απαντήσεις στο “ΟΡΙΟ ΛΟΓΑΡΙΘΜΗΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ”

Το 1ο παραδειγμα ειναι λαθος βγαινει – απειρο

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά