Γ Λυκείου / ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Για το όριο στο άπειρο της εκθετικής συνάρτησης διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

  • Αν \alpha >1, τότε ισχύουν:

        \[\lim_{x\to -\infty} \alpha^{x} =0 \quad \text{και } \quad \lim_{x\to +\infty}\alpha^{x}=+\infty.\]

  • Αν 0<\alpha <1, τότε ισχύουν:

        \[\lim_{x\to -\infty} \alpha^{x} =+\infty \quad \text{και } \quad \lim_{x\to +\infty}\alpha^{x}=0.\]

Παράδειγμα.1.
Να υπολογισθούν τα όρια:

    \[ \newcounter{afa} \newcommand{\afa }{% \stepcounter{afa}% %exartate \alph{tbc})\ } %exartate \Alph{tbc})\ } \roman{afa})\ } \begin{tabular}{ l l } &\afa $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{6^{x}}{5^{x}} \quad \quad $ \afa $\,\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{2^{x}}{5^{x}}.$ \end{tabular} \]

Λύση
i.) Έχουμε ότι:

    \[\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{6^{x}}{5^{x}} =\lim_{x\to -\infty}\Big(\dfrac{6}{5}\Big)^{x}=0.\]

αφού \dfrac{6}{5}>1.

ii.) Έχουμε ότι:

    \[\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{2^{x}}{5^{x}} =\lim_{x\to -\infty}\Big(\dfrac{2}{5}\Big)^{x}=+\infty.\]

αφού 0<\dfrac{2}{5}<1.

Μεθοδολογια.
Για τα όρια της μορφής {\color{blue}{\displaystyle\lim_{x\to \pm \infty}\dfrac{f(\alpha^{x},\beta^{x},\cdots)}{g(\alpha^{x},\beta^{x},\cdots)}} που εμφανίζεται απροσδιόριστη μορφή, διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:
Αν {{\color{blue}x\to +\infty } τότε από τον αριθμητή και απο τον παρονομαστή βγάζουμε κοινό παράγοντα το εκθετικό με τη μεγαλύτερη βάση.
Αν {\color{blue}x\to -\infty} τότε από τον αριθμητή και απο τον παρονομαστή βγάζουμε κοινό παράγοντα το εκθετικό με τη μικρότερη βάση.

Παράδειγμα.2
Να υπολογισθεί το όριο

    \[\lim_{x\to -\infty}\dfrac{3^{x}+6^{x}}{3^{x+1}}.\]


Λύση

Έχουμε

    \begin{align*} &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{3^{x}+6^{x}}{3^{x+1}}= \\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{3^{x}+6^{x}}{3^{x}\cdot 3}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{3^{x}\cdot\Big(1+\dfrac{6^{x}}{3^{x}}\Big)}{3^{x}\cdot 3}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1+\dfrac{6^{x}}{3^{x}}}{ 3}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1+\Big(\dfrac{6}{3}\Big)^{x}}{ 3}=\\\\ &\lim_{x\to -\infty}\dfrac{1+2^{x}}{ 3}=\dfrac{1+0}{3}=\dfrac{1}{3}. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *