ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών, δηλαδή $A_{f} = \rr.$

Από υπόθεση έχουμε ότι η $f$ είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, $A_{f} = \rr,$ άρα θα είναι συνεχής και στο $x_{0} =2,$
οπότε απο τον ορισμό της συνέχειας, συνάρτησης, στο $x_{0} = 2,$ θα ισχύει ότι:

$\lim_{x\to 2} f(x) =f(2). \quad (1.)$

Για τον υπολογισμό του ορίου, της συνάρτησης $f$ στο $x_{0} =2,$ στο οποίο έχουμε αλλαγή τύπου, θα πρέπει να υπολογίσουμε τα πλευρικά όρια της συνάρτησης.

Συνεπώς
για $x< 2$ ισχύει $f(x) = \alpha x^{2}-5x +4\alpha,$ οπότε:

$\begin{align*} \lim_{x\to 2^{-}} f(x) = & \lim_{x\to 2^{-}}( \alpha x^{2}-5x +4\alpha) \\ = & \,\, \alpha \cdot 2^{2}-5\cdot 2+4\alpha \\ = & \,\, 4 \alpha -10 + 4\alpha \\ = & \,\, 8 \alpha -10. \quad (2.) \end{align*}$

για $x>2$ ισχύει $f(x) = \dfrac{5x -10}{x+1-\sqrt{x+7}},$ οπότε:

$\begin{align*} \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = & \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{5x -10}{x+1-\sqrt{x+7}} \overset{\frac{0}{0}}{=}\\\\ & \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{5x -10}{(x+1)-\sqrt{x+7}} = \\\\ & \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{(5x -10)\cdot \bigg((x+1)+\sqrt{x+7}\bigg)}{\bigg((x+1)-\sqrt{x+7}\bigg)\cdot \bigg((x+1)+\sqrt{x+7}\bigg)} = \\\\ & \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{(5x -10)\cdot \bigg((x+1)+\sqrt{x+7}\bigg)}{(x+1)^{2}-\sqrt{x+7}^{2}} = \\\\ & \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{(5x -10)\cdot \bigg((x+1)+\sqrt{x+7}\bigg)}{x^{2}+2x +1-(x+7)} = \\\\ & \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{(5x -10)\cdot \bigg((x+1)+\sqrt{x+7}\bigg)}{x^{2}+2x +1-x-7} = \\\\ & \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{(5x -10)\cdot \bigg((x+1)+\sqrt{x+7}\bigg)}{x^{2}+x -6} = \\\\ & \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{(5x -10)\cdot \bigg((x+1)+\sqrt{x+7}\bigg)}{(x+3)\cdot(x-2)} = \\\\ \end{align*}$

$\quad \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{5\cdot(x -2)\cdot \bigg((x+1)+\sqrt{x+7}\bigg)}{(x+3)\cdot(x-2)} =$

$\quad \lim_{x \to 2^{+}}\dfrac{5\cdot \bigg((x+1)+\sqrt{x+7}\bigg)}{x+3} =$

$\quad \dfrac{5\cdot \bigg((2+1)+\sqrt{2+7}\bigg)}{2+3} =$

$\quad \dfrac{5\cdot \bigg(3+3\bigg)}{5} = 6$

Αρά $\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}f(x) = 6. \quad (3.)$

Επίσης $f(2) = \alpha \cdot 2^{2}-5\cdot 2+4\alpha \Leftrightarrow f(2) = 8 \alpha -10. \quad (3.)$

Απο κριτήριο πλευρικών ορίων και απο τις σχέσεις $(1.), (2.), (3.),$ έχουμε ότι για να είναι συνεχής, η συνάρτηση $f,$
θα πρέπει:

$8 \alpha -10 =6 \Leftrightarrow 8\alpha = 16 \Leftrightarrow \alpha = 2.$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

3 απαντήσεις στο “ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ”

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά