ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

Έστω μια συνάρτηση $f$ , η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα $\Delta$ .

Αν $f'(x)>0$ σε κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$ , τότε η $f$ είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το $\Delta.$

Αν $f'(x)<0$ σε κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta,$ τότε η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το $\Delta.$

ΠΡΟΣΟΧΗ
Έστω μια συνάρτηση $f$ συνεχής στο $[\alpha,\beta].$

Αν $f'(x)>0$ σε κάθε $x\in(\alpha,\beta),$ τότε η $f$ είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το $[\alpha,\beta].$

Αν $f'(x)<0$ σε κάθε $x\in(\alpha,\beta)$ , τότε η $f$ είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το $[\alpha,\beta].$

Στα άκρα του διαστήματος $[\alpha,\beta]$ δεν μας ενδιαφέρει ούτε το πρόσημο της $f'$ , ούτε αν αυτή μηδενίζεται, ούτε καν την ύπαρξή της.
Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει. Δηλαδή αν μια παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα $\Delta,$ τότε δεν ισχύει υποχρεωτικά $f'(x)>0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta.$

Παράδειγμα.1.
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την

$f(x)=x^2-2x+3$

Λύση
Η συνάρτηση

$f(x)=x^2-2x+3$

είναι συνεχής στο $\rr$ και για κάθε $x\in\rr$ ισχύει:

$f'(x)=2x-2$

Έχουμε:

$\begin{align*} &f'(x)>0 \Leftrightarrow\\ &2x-2>0 \Leftrightarrow\\ &2x>2 \Leftrightarrow\\ &x>1 \end{align*}$

Άρα η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα για $x\geq 1.$

$\begin{align*} &f'(x)<0 \Leftrightarrow\\ &2x-2<0 \Leftrightarrow\\ &2x<2 \Leftrightarrow\\ &x<1 \end{align*}$

Άρα η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως φθίνουσα για $x\leq1.$
Τελικά:

ΓΕΝΙΚΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Για να μελετήσουμε μια συνάρτηση $f$ ως προς τη μονοτονία ακολουθούμε τα εξής βήματα.

Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της $f.$

Εξετάζουμε αν η $f$ είναι συνεχής.

Βρίσκουμε την $f'.$

Λύνουμε την εξίσωση $f'(x)=0$ και βρίσκουμε, αν υπάρχουν, τις ρίζες της $f'.$

Βρίσκουμε το πρόσημο της $f'$ είτε λύνοντας τις ανισώσεις $f'(x)>0$ και $f'(x)<0$ είτε βρίσκοντας το πρόσημο της $f'$ σε κάθε διάστημα που ορίζουν οι ρίζες της.

Σχηματίζουμε πίνακα με το πρόσημο της $f',$ στον οποίο σημειώνουμε το πεδίο ορισμού της $f$ και τις ρίζες της $f'.$

Συμπληρώνουμε τον πίνακα με το είδος της μονοτονίας της $f$ σε κάθε διάστημα.

Παράδειγμα.2.
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

$f(x)=ln(x+1)-\frac{2x}{x+2}$

Λύση

Η συνάρτηση $f$ ορίζεται όταν:

$\begin{align*} &x+1>0 \Leftrightarrow x>-1\\ &\quad \text{και} \quad \\ & x+2 \neq 0 \Leftrightarrow x\neq -2. \end{align*}$

Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $f$ είναι το

$A_{f}=(-1,+\infty)$

Η $f$ είναι συνεχής στο $(-1,+\infty)$ ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Επίσης για κάθε $x\in(-1,+\infty)$ έχουμε:

$\begin{align*} f'(x)=&\Big(ln(x+1)-\frac{2x}{x+2}\Big)'=\\\\ &\frac{1}{x+1}- \frac{(2x)'\cdot(x+2)-2x\cdot(x+2)'}{(x+2)^{2}}=\\\\ &\frac{1}{x+1}- \frac{2\cdot(x+2)-2x\cdot 1}{(x+2)^{2}}=\\\\ &\frac{1}{x+1}-\frac{2x+4-2x}{(x+2)^2}=\\\\ &\frac{1}{x+1}-\frac{4}{(x+2)^2}= \\\\ &\frac{x^2+4x+4-4x-4}{(x+1)(x+2)^2} =\\\\ &\frac{x^2}{(x+1)(x+2)^2} \end{align*}$

Δηλαδή

$f'(x)=\frac{x^2}{(x+1)(x+2)^2}.$

Βρίσκουμε τις ρίζες και το πρόσημο της $f'$ .

$\begin{align*} &f'(x)=0 \Leftrightarrow\\ &\frac{x^2}{(x+1)(x+2)^2}=0\Leftrightarrow x =0. \end{align*}$

Επιπλέον για $x \neq 0$ και $x > -1$

έχουμε $f'(x)=\dfrac{x^2}{(x+1)(x+2)^2}>0$ επειδή:

$x^2>0, \quad (x+2)^2>0, \quad x+1>0$

Δηλαδή η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα για $x>-1.$
Τελικά:

Σημείωση για $x=0,$ έχουμε $f'(0) =0$ αλλα η συνάρτηση $f$ είναι γνησιως αύξουσα στο $A_{f}=(-1, +\infty)$
Δείτε εδώ το γιατί:
http://diakopoulos.net/2016/10/15/%ce%bc%ce%bf%ce%bd%ce%bf%cf%84%ce%bf%ce%bd%ce%b9%ce%b1-%cf%80%ce%b1%cf%81%ce%b1%ce%b3%cf%89%ce%b3%ce%b9%cf%83%ce%b9%ce%bc%ce%b7%cf%83-%cf%83%cf%85%ce%bd%ce%b1%cf%81%cf%84%ce%b7%cf%83%ce%b7%cf%83/

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
					1	2
3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23
24	25	26	27	28	29	30
31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΜΕΛΕΤΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά