Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Θεώρημα Fermat
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα \Delta.
Αν ισχύουν τα παρακάτω

  • η f παρουσιάζει τοπικό ή ολικό ακρότατο στο x_0,
  • το x_0 είναι εσωτερικό σημείο του \Delta,
  • η f είναι παραγωγίσιμη στο x_0,

τότε f'(x_0)=0.

Πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων
Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα \Delta. Οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων της f είναι:

  • Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος \Delta στα οποία η f' μηδενίζεται.
  • Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος \Delta στα οποία η f δεν είναι παραγωγίσιμη.
  • Τα άκρα του διαστήματος \Delta (εφόσον το \Delta είναι κλειστό σε κάποιο από αυτά).

Ειδικότερα τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος \Delta στα οποία η f' μηδενίζεται ή η f δεν είναι παραγωγίσιμη, ονομάζονται κρίσιμα σημεία της f.

Θεώρημα – Κριτήριο τοπικών ακροτάτων
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (\alpha,\beta), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x_0, στο οποίο η f είναι συνεχής.

  • Αν ισχύει f'(x)>0 στο (\alpha,x_0) και f'(x_0)<0 στο (x_0,\beta), τότε το f(x_0) είναι τοπικό μέγιστο της f.
  • Αν ισχύει f'(x)<0 στο (\alpha,x_0) και f'(x_0)>0 στο (x_0,\beta), τότε το f(x_0) είναι τοπικό ελάχιστο της f.
  • Αν η f'(x) διατηρεί πρόσημο στο (\alpha,x_0)\cup(x_0,\beta), τότε το f(x_0) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο (\alpha,\beta).

Μεθοδολογία
Για να βρούμε τα ακρότατα μια συνάρτησης f εργαζόμαστε ως εξής:

  • Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού.
  • Βρίσκουμε την f'(x).
  • Λύνουμε την εξίσωση f'(x)=0 και βρίσκουμε το πρόσημο της f'.
  • Σχηματίζουμε πίνακα με τη μονοτονία της f.

Αν σε κάποιο x_0\in A_f η f είναι συνεχής και αλλάζει μονοτονία, τότε το f(x_0) είναι τοπικό ακρότατο της f.

Παράδειγμα.1.
Να βρείτε τα ακρότατα της

    \[f(x)=x^3-3x\]

Λύση
Η f(x)=x^3-3x έχει πεδίο ορισμού το \rr. Για κάθε x\in\rr είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με:

    \[f'(x)=3x^2-3\]

Έχουμε:

    \begin{align*} &f'(x)=0 \Leftrightarrow\\ &3x^2-3=0 \Leftrightarrow\\ &x^2-1=0 \Leftrightarrow\\ &x^2=1 \Leftrightarrow\\ &x=\pm 1 \end{align*}

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

    \begin{align*} \small{ \begin{tabular}{r l c c c c c r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x $} &{\tiny{$ -\infty$}}& & $-1$ & & $ 1$ & & \multicolumn{1}{r|}{{\tiny{$ +\infty$}}} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ 3x^2-3 $} & & $ +$ & $ 0$ & $ -$ & $ 0$ & $ +$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ f'$} & & $ +$ & $ 0$ & $ -$ & $ 0$ & $ +$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ f $} & & $ \nearrowtail$ &$ |$ & $ \searrowtail$ &$ | $ & $ \nearrowtail$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline & & &T.M. & & T.E. & &\\ & & &$f(-1)=2$ & & $f(1)=-2 & & \end{tabular}} \end{align*}

Παρατηρούμε ότι η f παρουσιάζει:
Στο -1 τοπικό μέγιστο το f(-1)=2
Στο 1 τοπικό ελάχιστο το f(1)=-2
Παράδειγμα.2.

Να βρείτε τα ακρότατα της

    \[f(x)=x^4-4x^3+4x^2+5 \quad \text{με} \quad x\in[-1,3]\]

Λύση
Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το \rr. Για κάθε x\in\rr είναι συνεχής και παραγωγίσιμη άρα και για x\in[-1,3] με:

    \[f'(x)=4x^3-12x^2+8x\]

Έχουμε:

    \begin{align*} &f'(x)=0 \Leftrightarrow\\ &4x^3-12x^2+8x=0 \Leftrightarrow\\ &4x(x^2-3x+2)=0 \Leftrightarrow\\ &4x(x-2)(x-1)=0 \Leftrightarrow\\ &x=0 \quad \text{ή} \quad x=2 \quad \text{ή} \quad x=1 \end{align*}

Σχηματίζουμε το πίνακα με το πρόσημο της f' και τη μονοτονία της f:

    \[ {\tiny{ \begin{tabular}{r c c c c c c c c r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x $} & $ -1$ & & $0$ & & $ 1$ & &$2$ & & \multicolumn{1}{r|}{ $ 3$} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x$ } & $|$ & $ -$ & $ 0$ & $ +$ & $ |$ & $ +$ & $|$ & $+$ & \multicolumn{1}{r|}{$| $ } \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{{\tiny{$x^2-3x+2 $}} } & $|$ & $ +$ &$ |$ & $ +$ &$ 0 $ & $ -$ & $0$ & $+$ & \multicolumn{1}{r|}{$| $ } \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f'$ } & $|$ & $ -$ &$ |$ & $ +$ & $ |$ & $ -$ & $|$ & $+$ & \multicolumn{1}{r|}{$| $ } \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f$ } & $|$ & $ \searrowtail$ &$ |$ & $ \nearrowtail$ & $ |$ & $ \searrowtail$ & $|$ & $\nearrowtail & \multicolumn{1}{r|}{$| $ } \\ \hline \\ &T.M. & &T. Ε. & & T.Μ. & & T.Ε. & &T.M. \\ &$f(-1)$ & &$f(0)$ & & $f(1)$ & & $f(2)$ & &$f(3)$ \end{tabular}} \]

Παρατηρούμε ότι η f παρουσιάζει:
Στο -1 τοπικό μέγιστο το f(-1)=14.
Στο 0 τοπικό ελάχιστο το f(0)=5.
Στο 1 τοπικό μέγιστο το f(1)=6.
Στο 2 τοπικό ελάχιστο το f(2)=5.
Στο 3 τοπικό μέγιστο το f(3)=14.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *