Γ Λυκείου / ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7 σχόλια
Print Friendly, PDF & Email

Έστω f: A \to \rr, μια συνεχής συνάρτηση. Για να βρούμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f, εργαζόμαστε ως εξής

  • Μελετάμε την f ως προς τη μονοτονία.
  • Βρίσκουμε τα διαστήματα \Delta_{1},\Delta_{2},\cdots του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f, σε καθένα απο τα διαστήματα η οποία διατηρεί μονοτονία.

  • Βρίσκουμε τα διαστήματα f(\Delta_{1}),f(\Delta_{2}),\cdots με τον παρακάτω τρόπο
    • \Delta=\left[\alpha,\beta\right] με f Γνησίως αύξουσα τότε
      f(\Delta)=\left[f(\alpha),f(\beta)\right]
    • \Delta=\left[\alpha,\beta\right] με fΓνησίως φθίνουσα τότε
      f(\Delta)=\left[f(\beta),f(\alpha)\right]
    • \Delta=\left(\alpha,\beta\right] με f Γνησίως αύξουσα τότε f(\Delta)=(\displaystyle\lim_{x\to\alpha+}f(x),f(\beta) ]
    • \Delta=\left(\alpha,\beta\right]με f Γνησίως φθίνουσα τότεf(\Delta)=[f(\beta),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))}
    • \Delta=[\alpha,\beta) με f Γνησίως αύξουσα τότε f(\Delta)=[f(\alpha), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))
    • \Delta=[\alpha,\beta)με f Γνησίως φθίνουσα τότεf(\Delta)=(\displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),f(\alpha)]
    • \Delta=(\alpha,\beta)με f Γνησίως αύξουσα τότε f(\Delta)=(\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))
    • \Delta=(\alpha,\beta)με f Γνησίως φθίνουσατότε f(\Delta)=( \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))
  • Το σύνολο τιμών της f είναι η ένωση των παραπάνω διάστηματων, δηλαδη f(\Alpha)=f(\Delta_{1})\cup f(\Delta_{2})\cup \cdots

Παράδειγμα.1.

Να βρείτε το σύνολο τιμών της συναρτησης f(x) = \sqrt{1-x}- \ln x.

Λύση
Η συνάρτηση f(x) = \sqrt{1-x}-\ln x ορίζεται όταν

    \[ \left\{ \begin{tabular}{ll} $1-x \geq 0$ \\ και \\ $x >0$ \end{tabular} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{tabular}{ll} $ x \leq 1$ \\ και \\ $x >0$ \end{tabular} \right. \]

οπότε, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι

    \[Α_{f} = (0,1].\]

Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Α_{f} = (0,1], ως πράξεις συνεχών και παραγωγίσιμη στο (0,1) με παράγωγο

    \[f'(x) =-\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}-\dfrac{1}{x}=-\Big(\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}+\dfrac{1}{x}\Big)<0.\]

Συνεπώς η συνάρτηση f είναι γνησιώς φθίνουσα στο διάστημα A_{f} = (0,1], οπότε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι

    \[f(A) = \big[f(1),\lim_{x\to 0^{+}}f(x)\big).\]

Έχουμε ότι f(1)=0 και

    \[\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x) =\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\Big (\sqrt{1-x}- \ln x\Big)= +\infty.\]

Τελικά το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι

    \[f(A) = [0, +\infty).\]

Παράδειγμα.2.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης

    \[f(x) = x^{4}-8x^{3}+22x^{2}-24x+9.\]

Λύση
Η συνάρτηση f(x) = x^{4}-8x^{3}+22x^{2}-24x+9, έχει πεδίο ορισμού το A_{f} = \rr, στο οποίο είναι συνεχής.
Επίσης η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο \rr, με

    \[f'(x)= 4x^{3} -24x^{2} +44x-24.\]

Βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου

    \begin{align*} f'(x) = & 0 \Leftrightarrow \\ 4x^{3} -24x^{2} +44x-24 = & 0\Leftrightarrow \\ 4( x^{3} -6x^{2}+11x -6) =& 0 \Leftrightarrow \\ x^{3} -6x^{2}+11x -6 =& 0 \Leftrightarrow \\ (x-1)\cdot ( x^{2}-5x+6) =& 0 \Leftrightarrow \\ (x-1) \cdot (x-3) \cdot ( x-2) =& 0 \Leftrightarrow \\ x=1 \quad \text { ή} \quad x = 3 \quad\text { ή} \quad x =2. \end{align*}

Σχηματίζουμε τον πίνακα με το πρόσημο της παραγώγου της συνάρτησης f με

    \[f'(x)=4\cdot(x-1) \cdot (x-3) \cdot ( x-2)\]

και της μονοτονίας της συνάρτησης f.

    \[ \small{ \begin{tabular}{r l c c c c c c c r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x $ } &{\tiny{$ -\infty$}}& & $1$ & & $ 2$ & &$3$ & & \multicolumn{1}{r|}{{\tiny{$ +\infty$}} } \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$x -1$ } & & $-$ &$ 0$ & $ +$ & $ |$ & $ +$ & $|$ & $+$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$x -3$ } & & $-$ & $|$ & $ -$ & $ | $ & $ -$ & $0$ & $ +$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$x -2$ } & & $-$ & $|$ & $ -$ & $ 0 $ & $ +$ & $|$ & $ +$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f'$ } & & $-$ & $0$ & $ +$ & $ 0 $ & $ -$ & $0$ & $ +$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f$ } & & $ \searrowtail$ & $ | $ & $\nearrowtail$ & $ |$ & $ \searrowtail$ & $|$ & $\nearrowtail$ & \multicolumn{1}{r|}{}\\ \hline & & & T.Ε. & & T.Μ. & & T.Ε. & & \\ & & & $ f(1)$ & & $ f(2)$ & & $ f(3)$ & & \end{tabular} } \]

Επομένως έχουμε:

  • Στο διάστημα \Delta_{1}=(-\infty, 1] η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησής f, είναι:

        \[f(\Delta_{1})=\Big[ f(1), \displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)\Big)=[0,+\infty).\]

  • Στο διάστημα \Delta_{2}=[1, 2] η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησής f, είναι:

        \[f(\Delta_{2})=\Big[ f(1), f(2)\Big]=[0,1].\]

  • Στο διάστημα \Delta_{3}=[2,3] η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησής f, είναι:

        \[f(\Delta_{3})=\Big[ f(3), f(2)\Big]=[0,1].\]

  • Στο διάστημα \Delta_{4}=[3, +\infty) η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της συνάρτησής f, είναι:

        \[f(\Delta_{4})=\Big[ f(3), \displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)\Big)=[0,+\infty).\]

Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι:

    \[f(A)=f(\Delta_{1})\cup f(\Delta_{2}) \cup f(\Delta_{3}) \cup f(\Delta_{4})=[0,+\infty).\]

Παράδειγμα.3.
Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης:

    \[f(x) = \dfrac{x^{2}-x+1}{x-1}.\]

Λύση
Η συνάρτηση f(x) = \dfrac{x^{2}-x+1}{x-1}, ορίζεται όταν x\neq 1,
οπότε έχει πεδίο ορισμού το A_{f}=\rr-\{+1\}.
Συνεπώς για κάθε x\neq +1 έχουμε:

    \begin{align*} &f'(x) = \Big(\dfrac{x^{2}-x+1}{x-1}\Big)'\Leftrightarrow \\\\ & f'(x) = \dfrac{\big(x^{2}-x+1\big)'\cdot(x-1)-(x^{2}-x+1)\cdot(x-1)'}{(x-1)^{2}} \Leftrightarrow \\\\ & f'(x) = \dfrac{(2x -1)\cdot(x-1)-(x^{2}-x+1)}{(x-1)^{2}}\Leftrightarrow \\\\ & f'(x) = \dfrac{2x^{2}-2x-x+1-x^{2}+x-1}{(x-1)^{2}}\Leftrightarrow \\\\ & f'(x) = \dfrac{x^{2}-2x}{(x-1)^{2}}\Leftrightarrow \\\\ & f'(x) = \dfrac{x\cdot(x-2)}{(x-1)^{2}}. \end{align*}

Για x\neq 1 βρίσκουμε τις ρίζες της παραγώγου και έχουμε:
f'(x)=0\Leftrightarrow \dfrac{x\cdot(x-2)}{(x-1)^{2}} =0 \Leftrightarrow x\cdot(x-2)=0 \Leftrightarrow x =0, \, x=2.

Σχηματίζουμε τον πίνακα με το πρόσημο της f' και μονοτονιας ακροτάτων της συνάρτησης f.

    \[ \tiny{ \begin{tabular}{r l c c c c c c c r} \hline \multicolumn{1}{|r|}{$ x $ } &{\tiny{$ -\infty$}}& & $0$ & & $ 1$ & &$2$ & & \multicolumn{1}{r|}{{\tiny{$ +\infty$}} } \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$(x -1)^{2}$ } & & $+$ &$ |$ & $ +$ & $ 0$ & $ +$ & $|$ & $+$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$x\cdot(x -2)$ } & & $+$ & $0$ & $ -$ & $ | $ & $ -$ & $0$ & $ +$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f'$ } & & $+$ & $0$ & $ -$ & $ || $ & $ -$ & $0$ & $ +$ & \multicolumn{1}{r|}{} \\ \hline \multicolumn{1}{|r|}{$f$ } & & $\nearrowtail$ & $ | $ & $ \searrowtail$ & $ ||$ & $\searrowtail$ & $|$ & $ \nearrowtail$& \multicolumn{1}{r|}{}\\ \hline & & & T.Μ. & & & & T.E. & & \\ & & & $ f(0)$ & & $ & & $ f(2)$ & & \end{tabular} } \]

Επομένως έχουμε:

  • Στο \Delta_{1}=(-\infty,0] η f είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι:

        \[f(\Delta_{1}) = \big( \displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x) , f(0)\big]=(-\infty, -1].\]

  • Στο \Delta_{2}=[0,1) η f είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι:

        \[f(\Delta_{2}) = \big( \displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x) , f(0)\big]=(-\infty, -1].\]

  • Στο \Delta_{3}=(1,2] η f είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι:

        \[f(\Delta_{3}) = \big[ f(2),\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}f(x) \big)=[3,+\infty).\]

  • Στο \Delta_{4}=[2, +\infty) η f είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι:

        \[f(\Delta_{4}) = \big[ f(2),\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) \big)=[3,+\infty).\]

    • Τέλος το σύνολο τιμών της συνάρτησης f είναι:

    f(A) = f(\Delta_{1})\cup f(\Delta_{2}) \cup f(\Delta_{3})\cup f(\Delta_{4}) = (-\infty, -1] \cup [3,+\infty).

    Βιβλιογραφία: Παπαδακης, εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    7 απαντήσεις στο “ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ”

    2. Παράθεμα: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ NIH/30 - Ν. Α. Διακόπουλος
    3. Παράθεμα: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ
    4. Παράθεμα: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
    5. Παράθεμα: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φ24/208 - Ν. Α. Διακόπουλος

    6. Πιστεύω πως έχουμε λάθος στο παράδειγμα 3, όπου το πεδίο ορισμού είναι το. R εκτός του 1 και όχι εκτός του – 1, αλλά αυτό συνεχίζεται και στην πορεία της άσκησης

      Απάντηση

      1. Σας ευχαριστούμε πολύ για την εντόπιση του αριθμητικού λάθος. Αυτού του είδους οι επισημάνσεις είναι χρήσιμες και αναγκαίες!

        Απάντηση

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *