Γ Λυκείου / ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

ΚΥΡΤΗ – ΚΟΙΛΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα \Delta και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του \Delta. Θα λέμε ότι:

  • Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο \Delta αν η f' είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του \Delta.
  • Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο \Delta αν η f' είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του \Delta.

    • ΘΕΩΡΗΜΑ
    Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα \Delta και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του \Delta.

  • Αν f''(x)>0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta, τότε η f είναι κυρτή στο \Delta.
  • Αν f''(x)<0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta, τότε η f είναι κοίλη στο \Delta.

    • Παρατηρήσεις

  • Τo αντίστροφο του προηγούμενου θεωρήματος δεν ισχύει, Δηλαδή αν η f είναι κυρτή (αντίστοιχα κοίλη) σε ένα διάστημα \Delta, τότε δεν ισχύει πάντα ότι f''(x)>0 (αντίστοιχα f''(x)<0) για κάθε εσωτερικό σημείο του \Delta.
  • Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα \Delta και ισχύει

        \[f''(x)>0 \quad ( \text{αντίστοιχα} \quad f''(x)<0)\]

    για κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta, με την ισότητα f''(x)=0 να ισχύει για διακεκριμένες τιμές του x, τότε η f είναι κυρτή (αντίστοιχα κοίλη) στο \Delta.

    • ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

    Για να μελετήσουμε μια συνάρτηση f:A\rightarrow\rr ως προς την κυρτότητα, εργαζόμαστε ως εξής:

  • Βρίσκουμε το πεδιο ορισμού D_f της f και διαπιστώνουμε ότι η f είναι συνεχής.
  • Βρίσκουμε την f''.
  • Λύνουμε την εξίσωση f''(x)=0 και βρίσκουμε το πρόσημο της f''.
  • Κατασκευάζουμε πίνακα με το πρόσημο της f'', στον οποίο θα συμπληρώσουμε την κυρτότητα της f.
  • Σε καθένα από τα διαστήματα \Delta_i στα οποία χωρίζεται το D_f από τις ρίζες της f'', ισχύει ότι:
      \bullet Αν f''(x)>0 στο εσωτερικό του \Delta_i τότε η f είναι κυρτή στο \Delta_i.
      \bullet Αν f''(x)<0 στο εσωτερικό του \Delta_i τότε η f είναι κοίλη στο \Delta_i.

    • \varcup

    Παράδειγμα.
    Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα την συνάρτηση

        \[f(x)=x^3-6x^2+3x-2\]

    Λύση
    Για κάθε x\in\rr η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με,

        \[f'(x)=3x^2-12x+3\]

    Επίσης για κάθε x\in\rr έχουμε:

        \[f''(x)=6x-12=6(x-2)\]

    Βρίσκουμε τις ρίζες της f''

        \begin{align*} &f''(x)=0 \Leftrightarrow\\ &6(x-2)=0 \Leftrightarrow x=2 \end{align*}

    Βρίσκουμε το πρόσημο της f'':

        \[ \begin{tabular}{|r| l c c c c r|} \hline $ x $ &{\tiny{$ -\infty$}}& & $2$ & & {\quad\tiny{$ +\infty$}} & \\ \hline $ f''$ & & $ -$ & $ 0$ & $ +$ & & \\ \hline $ C_{f}$ & & $ \frown $ & & $ \smile $ & & \\ \hline \end{tabular}\\ \]

    Άρα η f είναι κοίλη \frown στο (-\infty,2] και κυρτή \smile στο [2,+\infty).

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *