Γ Λυκείου / ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Έστω μια συνάρτηση f πολλαπλού τύπου η οποία αλλάζει τύπο στο x_0. Για να μελετήσουμε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής, εργαζόμαστε ως εξής:

  • Βρίσκουμε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης, f'', για x<x_0 και το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης, f'', για x<x_0.
  • Βρίσκουμε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης, f'', για x>x_0 και το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης, f'', για x>x_0.

    • ,

  • Σχηματίζουμε ενιαίο πίνακα με το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου της συνάρτησης, f'', και την κυρτότητα της συνάρτησης f.
      • Το x_0 είναι θέση σημείου καμπής, όταν:
      \circ Η f έχει εφαπτομένη στο x_0
      \circ Αλλάζει η κυρτότητα της f εκατέρωθεν του x_0.
      ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ
      Δεν χρειάζεται να ελέγξουμε αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο x_0.

    Παράδειγμα. 1.
    Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και το σημείο καμπής την συνάρτηση

        \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $x^2-2x+6, \quad x\leq1$ \\\\ $x^3-9x^2+15x-2, \quad x>1$ \end{tabular} \right. \]

    Λύση
    Η f έχει πεδίο ορισμού το \rr. Βρίσκουμε την f'.
    Για x<1 είναι:

        \[f'(x)=2x-2\]

    Για x>1 είναι:

        \[f'(x)=3x^2-18x+15\]

    Εξετάζουμε αν η συνάρτηση, f είναι συνεχής στο x_{0} =1.

        \[\lim_{x \to 1^-}f(x)=5\]

        \[\lim_{x \to 1^+}f(x)=5\]

    Από κριτήριο πλευρικών ορίων έχουμε ότι το όριο της συνάρτησης f στο x_{0} =1, υπάρχει και είναι

        \[\lim_{x\to 1}f(x) =5=f(1)\]

    Άρα η f είναι συνεχής στο x_{0} =1.
    Εξετάζουμε, τώρα αν η συνάρτηση f, είναι παραγωγίσιμη στο x_{0} =1.

        \begin{align*} f'_{-}(1)&=\lim_{x \to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\\ &=\lim_{x \to 1^-}\frac{x^2-2x+6-5}{x-1}\\ &=\lim_{x \to 1^-}\frac{x^2-2x+1}{x-1}\\ &=\lim_{x \to 1^-}\frac{(x-1)^2}{x-1}\\\\ &=\lim_{x \to 1^-}(x-1)=0 \end{align*}

    Επίσης

        \begin{align*} f'_{+}(1)&=\lim_{x \to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\\ &=\lim_{x \to 1^+}\frac{x^3-9x^2+15x-2-5}{x-1}\\ &=\lim_{x \to 1^+}\frac{x^3-9x^2+15x-7}{x-1}\\ &=\lim_{x \to 1^+}\frac{(x-1)(x^2-8x+7)}{x-1}\\ &=\lim_{x \to 1^+}(x^2-8x+7)=0 \end{align*}

    Άρα η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x_{0} =1, με

        \[f'(1)=0\]

    Επομένως έχουμε:

        \[f'(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $2x-2, \quad x\leq1$ \\\\ $3x^2-18x+15, \quad x>1$ \end{tabular} \right. \]

    Βρίσκουμε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης, f'':
    Για x<1 έχουμε:

        \[f''(x)=2.\]

    Για x>1 έχουμε:

        \begin{align*} &f''(x)=6x-18=6(x-3). \end{align*}

    Την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης f στο x_{0}=1, δηλαδή την τιμή f''(1), δεν χρειάζεται να την υπολογίσουμε οπότε σχηματίζουμε τον πίνακα:

        \[ \begin{tabular}{|r| l c c c c c r|} \hline $ x $ &{\tiny{$ -\infty$}}& & $1$ & & $ 3$ & & {\tiny{$ +\infty$}} \\ \hline $2 $ & & $+$ &$ |$ & & $ |$ & & \\ \hline $6(x-3) $ & & &$ |$ & $ -$ & $ 0$ & $ +$ & \\ \hline $f'' $ & & $+$ &$ |$ & $ -$ & $ 0$ & $ +$ & \\ \hline $C_{f} $ & & $\smile$ &Σ.Κ. & $\frown$ & Σ.Κ. & $\smile$ & \\ \hline \end{tabular}\]

    Η συνάρτηση f είναι κυρτή \smile στο (-\infty,1] και στο [3,+\infty)
    και κοίλη\frown στο [1,3].
    Η C_f έχει σημεία καμπής στις θέσεις x_1=1 το A(1,5) και x_0=3 το B(3,-11).

    Παράδειγμα.2. Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και το σημείο καμπής την συνάρτηση

        \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $x^3+6x^2, \quad x\leq1$ \\\\ $x^3-9x^2+15, \quad x>1$ \end{tabular} \right. \]

    Λύση
    Η συνάρτηση ,f έχει πεδίο ορισμού το \rr, στο οποίο
    Για x<1, η f(x)=x^3+6x^2, είναι συνεχης.
    Για x>1, η f(x)=x^3-9x^2+15, είναι συνεχης.
    Εξετάζουμε αν η f είναι συνεχής στο x_{0}=1.

        \[\lim_{x \to 1^-}f(x)=7\]

        \[\lim_{x \to 1^+}f(x)=7\]

    Από κριτήριο πλευρικών ορίων έχουμε

        \[\lim_{x \to 1}f(x)=7=f(1).\]

    Άρα η f είναι συνεχής στο x_{0}=1.
    Βρίσκουμε την παράγωγο της συνάρτησης, f',
    Για x<1 είναι:

        \[f'(x)=3x^2+12x\]

    Για x>1 είναι:

        \[f'(x)=3x^2-18x\]

    Εξετάζουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x_{0}=1.

        \begin{align*} f_{-}'(1)&=\lim_{x \to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\\ &=\lim_{x \to 1^-}\frac{x^3+6x^2-7}{x-1}\\ &=\lim_{x \to 1^-}\frac{(x-1)(x^2+7x+7)}{x-1}\\ &=\lim_{x \to 1^-}(x^2+7x+7)\\ &=15 \end{align*}

        \begin{align*} f_{+}'(1)&=\lim_{x \to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\\ &=\lim_{x \to 1^+}\frac{x^3-9x^2+15-7}{x-1}\\ &=\lim_{x \to 1^+}\frac{x^3-9x^2+8}{x-1}\\ &=\lim_{x \to 1^+}\frac{(x-1)(x^2-8x-8)}{x-1}\\ &=\lim_{x \to 1^+}(x^2-8x-8)\\ &=-15 \end{align*}

    Άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο x_{0}=1, με

        \[f'(1)=0\]

    Επομένως έχουμε:

        \[f'(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $3x^2+12x, \quad x\leq1$ \\\\ $3x^2-18x, \quad x>1$ \end{tabular} \right. \]

    Βρίσκουμε την δεύτερη παράγωγο της στυνάρτησης, f''.
    Για x<1 έχουμε:

        \[f''(x)=6x+12\]

    Για x>1 έχουμε:

        \[f''(x)=6x-18=6(x-3)\]

    Σχηματίζουμε τον πίνακα:

        \[ \begin{tabular}{|r| l c c c c c c c r|} \hline $ x $ &{\tiny{$ -\infty$}}& & $-2$ & & $ 1$ & &$3$ &{\tiny{$ +\infty$}} & \\ \hline $6x+12$ & & $-$ &$ 0$ & $ +$ & $ |$ & & $|$ & & \\ \hline $6(x-3)$ & & &$ |$ & & $ |$ & $ -$ & $0$ & $+$ & \\ \hline $f''$ & & $ -$ &$ 0$ & $+ $ & $ ||$ & $ -$ & $0$ & $+$ & \\ \hline $ C_{f}$ & & $ \frown $ & Σ.Κ. & $ \smile $ & $ |$ & $ \frown$ & Σ.Κ. & $\smile$ & \\ \hline \end{tabular} \]

    Η συνάρτηση f είναι κοίλη, \frown, στο (-\infty,-2] και στο [1,3] και κυρτή, \smile, στο [-2,1] και στο [3,+\infty).
    Η C_f έχει σημεία καμπής στις θέσεις x_1=-2 το A(-2,16) και x_2=3 το B(3,-39).
    Η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x_{0}=1 άρα δεν έχει σημείο καμπής στο x_{0}=1.

    Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
    Άδεια Creative Commons
    Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

    Αφήστε μια απάντηση

    Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

    Δεν είμαι Robot *