Γ Λυκείου / ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα \Delta.
Για να είναι η f κυρτή (αντίστοιχα κοίλη) στο \Delta αρκεί να ισχύει f''(x)\geq0 (αντίστοιχα f''(x)\leq0) για κάθε x\in\Delta και η ισότητα f''(x)=0 να ισχύει για διακεκριμένες τιμές του x.

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση

    \[f(x)=2x^4+2\alpha x^3+3x^2+13x-21, \quad \alpha\in\rr\]

Να βρείτε για ποιές τιμές του \alpha η συνάρτηση είναι κυρτή στο \rr.
Λύση
Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο \rr.
Για κάθε x\in\rr είναι:

    \[f'(x)=8x^3+6\alpha x^2+6x+13\]

Επίσης για κάθε x\in\rr είναι:

    \begin{align*} &f''(x)=\big(8x^3+6\alpha x^2+6x+13\big)'\\ &f''(x)=24x^2+12\alpha x+6\\ &f''(x)=6(4x^2+2\alpha x+1). \end{align*}

Για να είναι κυρτή στο \rr πρέπει να ισχύει:

    \begin{align*} &f''(x)\geq0 \Leftrightarrow\\ &6(4x^2+2\alpha x+1)\geq0 \Leftrightarrow\\ &4x^2+2\alpha x+1\geq0 \quad \text{για κάθε} \quad x\in\rr \end{align*}

Άρα το τριώνυμο 4x^2+2\alpha x+1 πρέπει να έχει:

    \begin{align*} &\Delta\leq0 \Leftrightarrow\\ &4\alpha^2-4\leq0 \Leftrightarrow\\ &-1\leq\alpha\leq1 \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *