ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ

Αν η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή σε ένα διάστημα $\Delta$ και $(\epsilon): \quad y=\alpha x+\beta$ είναι η εφαπτομένη της $C_f$ σε ένα σημείο της $M(x_0,f(x_0)$ , με $x_0\in\Delta,$ τότε η $C_f$ βρίσκεται πάνω από την $(\epsilon),$ με εξαίρεση το σημείο επαφής. Δηλαδή για κάθε $x\in\Delta$ ισχύει ότι

$f(x)\geq \alpha x+\beta.$

Αν η συνάρτηση $f$ είναι κοίλη σε ένα διάστημα $\Delta$ και $(\epsilon): \quad y=\alpha x+\beta$ είναι η εφαπτομένη της $C_f$ σε ένα σημείο της $M(x_0,f(x_0),$ με $x_0\in\Delta,$ τότε η $C_f$ βρίσκεται κάτω από την $(\epsilon),$ με εξαίρεση το σημείο επαφής. Δηλαδή για κάθε $x\in\Delta$ ισχύει ότι

$f(x)\leq \alpha x+\beta.$

Παράδειγμα.1.
Να βρεθει η εφαπτομενη της $C_{f},$ με $f(x) = e^{x}$ στο σημείο $M\big(0,f(0)\big)$ και στη συνέχεια να δείξετε ότι

$e^{x}\geq x+1 \text{ για κάθε} \,\, x\in \rr.$

Λύση
$f(x) = e^{x}$ με $A_{f} = \rr,$ στο οποίο είναι συνεχής και παραγωγίσιμη, με

$f'(x) = e^x.$

Η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο σημείο $Μ\big(0,f(0)\big)$ είναι:

$(\epsilon): y -f(0) = f'(0)\cdot(x-0).$

δηλαδή

$(\epsilon): y -e^{0} = e^{0}\cdot x .$

οπότε

$(\epsilon): y = x+1.$

Επειδή η $f(x) = e^x$ είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο $\rr,$ με

$f''(x) =e^{x}>0 \text{\, για κάθε \, \,} x\in \rr.$

Οπότε η $C_{f}$ είναι ΚΥΡΤΗ $\smile,$ στο $\rr.$
Δηλαδή $C_f$ βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη $(\epsilon):y = x+1,$ με εξαίρεση το σημείο επαφής $M\big(0,f(0)\big).$
Άρα

$f(x) \geq x+1$

$e^{x} \geq x+1 \,\text{ για κάθε}\, x\in \rr,$

με την ισότητα να ισχύει μόνο για $x= 0.$

Παράδειγμα.2.
Να βρεθει η εφαπτομενη της $C_{f},$ με $f(x) = \ln x$ στο σημείο $M\big(1,f(1)\big)$ και στη συνέχεια να δείξετε ότι

$\ln x\leq x-1 \text{ για κάθε} \,\, x>0.$

Λύση
$f(x) = \ln x$ με $A_{f} = (0,+\infty),$ στο οποίο είναι συνεχής και παραγωγίσιμη, με

$f'(x) =\dfrac{1}{x}.$

Η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο σημείο $Μ\big(1,f(1)\big)$ είναι:

$(\epsilon): y -f(1) = f'(1)\cdot(x-1).$

δηλαδή

$(\epsilon): y -\ln 1 = \dfrac{1}{1}\cdot (x-1) .$

οπότε

$(\epsilon): y = x-1.$

Επειδή η $f'(x) =\dfrac{1}{x}$ η $f$ είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty),$ με

$f''(x) =-\dfrac{1}{x^{2}} < 0 \text{\, για κάθε \, \,} x>0.$

Οπότε η $C_{f}$ είναι ΚΟΙΛΗ $\frown,$ στο $(0,+\infty).$
Δηλαδή $C_f$ βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη $(\epsilon):y = x-1,$ με εξαίρεση το σημείο επαφής $M\big(1,f(1)\big).$
Άρα

$f(x) \leq x-1$

$\ln x \leq x-1 \,\text{ για κάθε}\, x>0,$

με την ισότητα να ισχύει μόνο για $x= 1.$

Παράδειγμα.3.
Δίνεται η συνάρτηση

$f(x)=e^{2x}+x^4$

α.) Να μελετήσετε την $f$ ως προς την κυρτότητα.
β.) Να βρείτε την εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο της $A(0,f(0)).$
γ.) Να αποδείξετε ότι

$e^{2x}\geq1+2x-x^4$

Λύση
α.) Η συνάρτηση $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\rr$ . Για κάθε $x\in\rr$ είναι:

$f'(x)=2e^{2x}+4x^3$

Επίσης για κάθε $x\in\rr$ είναι:

$f''(x)=4e^{2x}+12x^2>0$

Άρα η $f$ είναι κυρτή στο $\rr.$
β.) Έχουμε:

$f(0)=1 \quad \text{και} \quad f'(0)=2$

Άρα η εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο της $A(0,f(0))$ έχει εξίσωση:

$\begin{align*} &y-f(0)=f'(0)(x-0) \Leftrightarrow\\ &y-1=2x\\ & y=2x +1. \end{align*}$

γ.) Η $C_f$ βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη $y=2x+1$ με εξάιρεση το σημείο επαφής $A(0,f(0)).$ Δηλαδή για κάθε $x\in\rr$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} &f(x)\geq2x+1 \Leftrightarrow\\ &e^{2x}+x^4\geq2x+1 \Leftrightarrow\\ &e^{2x}\geq1+2x-x^4 \end{align*}$

Η ισότητα ισχύει για $x=0,$ μόνο.
Παράδειγμα.4.
α.) Έστω $f:\Delta\rightarrow\rr$ μια κυρτή συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι

$\frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2}\geq f(\frac{\alpha+\beta}{2}) \quad \text{για κάθε} \quad \alpha,\beta\in\rr$

β.) Δίνεται η συνάρτηση

$f(x)=x\ln x, \quad x>0$

Να μελετήσετε την $f$ ως προς την κυρτότητα.
Λύση
α.) Αν $\alpha=\beta$ , η ανισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε γίνεται:

$\begin{align*} &\frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2}\geq f(\frac{\alpha+\beta}{2}) \Leftrightarrow\\\\ &\frac{2f(\alpha)}{2}\geq f(\frac{2\alpha}{2}) \Leftrightarrow\\\\ &f(\alpha)\geq f(\alpha) \end{align*}$

Που ισχύει ως ισότητα.
Αν $\alpha<\beta$ , τότε η $f$ ικανοποιεί τις συνθήκες του Θ.Μ.Τ σε καθένα από τα διαστήματα

$[\alpha,\frac{\alpha+\beta}{2}] \quad \text{και} \quad [\frac{\alpha+\beta}{2},\beta]$

Επομένως:
Υπάρχει

$\xi_1\in(\alpha,\frac{\alpha+\beta}{2})$

ώστε:

$\begin{align*} f'(\xi_1)&=\frac{f(\frac{\alpha+\beta}{2})-f(\alpha)}{\frac{\alpha+\beta}{2}-\alpha}\\\\ &=\frac{f(\frac{\alpha+\beta}{2})-f(\alpha)}{\frac{\beta-\alpha}{2}} \end{align*}$

Υπάρχει

$\xi_2\in(\frac{\alpha+\beta}{2},\beta)$

ώστε:

$\begin{align*} f'(\xi_2)&=\frac{f(\beta)-f(\frac{\alpha+\beta}{2})}{\beta-\frac{\alpha+\beta}{2}}\\\\ &=\frac{f(\beta)-f(\frac{\alpha+\beta}{2})}{\frac{\beta-\alpha}{2}} \end{align*}$

Όμως η $f$ είναι κυρτή στο $\rr$ , άρα η $f'$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\rr.$ Επομένως έχουμε:

$\begin{align*} &\xi_1<\xi_2 \stackrel{ f \uparrow}{\Leftrightarrow}\\\\ &f(\xi_1)<f(\xi_2) \Leftrightarrow\\\\ &\frac{f(\frac{\alpha+\beta}{2})-f(\alpha)}{\frac{\beta-\alpha}{2}}<\frac{f(\beta)-f(\frac{\alpha+\beta}{2})}{\frac{\beta-\alpha}{2}} \Leftrightarrow\\\\ &f(\frac{\alpha+\beta}{2})-f(\alpha)<f(\beta)-f(\frac{\alpha+\beta}{2}) \Leftrightarrow\\\\ &2f(\frac{\alpha+\beta}{2})<f(\beta)+f(\alpha) \Leftrightarrow\\\\ &f(\frac{\alpha+\beta}{2})<\frac{f(\beta)+f(\alpha)}{2} \end{align*}$

Αν $\alpha>\beta$ η απόδειξη είναι ανάλογη. Άρα για κάθε $\alpha,\beta\in\rr$ ισχύει ότι:

$f(\frac{\alpha+\beta}{2})\leq\frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2}$

β.) Η συνάρτηση $f(x)=x\ln x$ είναι παραγωγίσιμη για $x>0$ . Επομένως έχουμε:

$\begin{align*} &f'(x)=\ln x+x\frac{1}{x} \Leftrightarrow\\ &f'(x)=\ln x+1 \end{align*}$

και

$f''(x)=\frac{1}{x}>0$

Άρα η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή για $x>0.$
Από το πρώτο υποερώτημα και για $\alpha,\beta>0$ έχουμε:

$\begin{align*} &f(\frac{\alpha+\beta}{2})\leq\frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2} \Leftrightarrow\\\\ &\frac{\alpha+\beta}{2}\ln\frac{\alpha+\beta}{2}\leq\frac{\beta \ln\beta+\alpha \ln\alpha}{2} \Leftrightarrow\\\\ &\ln\frac{\alpha+\beta}{2}\leq\frac{\beta \ln\beta+\alpha \ln\alpha}{\alpha+\beta}. \end{align*}$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
					1	2
3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23
24	25	26	27	28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά