ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Αν ένα τουλάχιστον απο τα όρια

$\lim_{x \to x_0^+}f(x), \quad \lim_{x \to x_0^-}f(x)$

είναι $+\infty \quad \text{ή} \quad -\infty$ , τότε η ευθεία

$x=x_0$

λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f.$

Τις κατακόρυφες ασύμπτωτες τις αναζητούμε:

Παράδειγμα.
Να βρείτε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες της συνάρτησης

$f(x)=\frac{x^2+3}{x^2-2x+1}$

Λύση
Η συνάρτηση

$f(x)=\frac{x^2+3}{x^2-2x+1}$

έχει πεδίο ορισμού το $A_f=\rr-\{1\}$ . Θα εξετάσουμε αν η $C_f$ έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη στο $1$ . Έχουμε:

$\begin{align*} \lim_{x \to 1}f(x)&=\lim_{x \to 1}\frac{x^2+3}{x^2-2x+1}\\ &=\lim_{x \to 1}\frac{x^2+3}{(x-1)^2}\\ &=+\infty \end{align*}$

‘Άρα η ευθεία $x=1$ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της $C_f.$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Ν. Α. Διακόπουλος