ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

$\text{Αν\,\,}\lim_{x \to +\infty}f(x)=l\in\rr \,\,\text{αντιστοίχως} \quad \lim_{x \to -\infty}f(x)=l\in\rr,$

τότε η ευθεία $y=l$ λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$ στο $+\infty,$ αντίστοιχα στο $-\infty.$

Μια συνάρτηση έχει το πολύ δύο οριζόντιες ασύμπτωτες, μία στο $-\infty$ και μία στο $+\infty.$

Αν μια συνάρτηση $f$ ορίζεται σε διαστήματα της μορφής $(-\infty,\alpha), (\beta,+\infty)$ , τότε για να βρούμε (αν υπάρχουν) τις οριζόντιες ασύμπτωτες της $C_f$ , υπολογίζουμε τα όρια

$\lim_{x \to -\infty}f(x) \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}f(x)$

Αν κάποιο από τα παραπάνω όρια είναι ίσο με $l\in\rr$ , τότε η ευθεία $y=l$ είναι οριζόντια ασύμπτωτη της $C_f$ στο $-\infty$ ή στο $+\infty$ αντίστοιχα.

Παράδειγμα.
Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της συνάρτησης

$f(x)=\frac{3x^2+7x+13}{x^2+2}$

Λύση
Η συνάρτηση

$f(x)=\frac{3x^2+7x+13}{x^2+2}$

ορίζεται στο $\rr.$
Έχουμε:

$\begin{align*} \lim_{x \to +\infty}f(x)&=\lim_{x \to +\infty}\frac{3x^2+7x+13}{x^2+2}\\\\ &=\lim_{x \to +\infty}\frac{3x^2}{x^2}=3 \end{align*}$

Άρα η ευθεία $y=3$ είναι οριζόντια ασύμπτωτη της $C_f$ στο $+\infty.$
Επίσης έχουμε:

$\begin{align*} \lim_{x \to -\infty}f(x)&=\lim_{x \to -\infty}\frac{3x^2+7x+13}{x^2+2}\\\\ &=\lim_{x \to -\infty}\frac{3x^2}{x^2}=3 \end{align*}$

Άρα η ευθεία $y=3$ είναι οριζόντια ασύμπτωτη της $C_f$ στο $-\infty.$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
					1	2
3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23
24	25	26	27	28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά