ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΓΙΑΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗΣ

Η ευθεία $y=\lambda x+\beta$ λέγεται ασύμπτωτη, της γραφικής παράστασης της $f$ στο $+\infty$ (αντιστοίχως στο $-\infty$ ) αν:

$\lim_{x \to +\infty}[f(x)-(\lambda x+\beta)]=0$

αντιστοίχως

$\lim_{x \to -\infty}[f(x)-(\lambda x+\beta)]=0$

Η ασύμπτωτη $y=\lambda x+\beta$ είναι οριζόντια ασυμπτωτη αν $\lambda=0$ , ενώ αν $\lambda\neq0$ λέγεται πλάγια ασύμπτωτη.

Για να αποδείξουμε ότι μια ευθεία $y=\lambda x+\beta$ είναι πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης $f$ στο $+\infty$ ή στο $-\infty$ αρκεί να αποδείξουμε αντίστοιχα ότι:

$\lim_{x \to +\infty}[f(x)-(\lambda x+\beta)]=0 \quad \text{ή} \quad \lim_{x \to -\infty}[f(x)-(\lambda x+\beta)]=0$

Παράδειγμα.1.
Δίνεται η συνάρτηση

$f(x)=\frac{3x^2-7x+2}{x-3}$

Να αποδείξετε ότι η ευθεία $y=3x+2$ είναι πλάγια ασύμπτωτη της $C_f$ στο $-\infty.$
Λύση
Η συνάρτηση

$f(x)=\frac{3x^2-7x+2}{x-3}$

έχει πεδίο ορισμού το $A_f=\rr-\{3\}.$
Έχουμε:

$\begin{align*} &\lim_{x \to -\infty}[f(x)-3x-2]=\\ &\lim_{x \to -\infty}\big{(}\frac{3x^2-7x+2}{x-3}-3x-2\big{)}=\\ &\lim_{x \to -\infty}\frac{3x^2-7x+2-3x^2-2x+9x+6}{x-3}=\\ &\lim_{x \to -\infty}\frac{8}{x-3}=0\\ \end{align*}$

Άρα η ευθεία $y=3x+2$ είναι πλάγια ασύμπτωτη της $C_f$ στο $-\infty.$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

2 απαντήσεις στο “ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΓΙΑΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗΣ”

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31