ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Η ευθεία $y=\lambda x+\beta$ είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της $f$ στο $+\infty$ αν και μόνο αν:

$\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lambda\in\rr \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}[f(x)-\lambda x]=\beta\in\rr$

αντιστοίχως στο $-\infty$

$\lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lambda\in\rr \quad \text{και} \quad \lim_{x \to -\infty}[f(x)-\lambda x]=\beta\in\rr$

Παρατηρήσεις

Μια συνάρτηση δεν μπορεί να έχει στο $+\infty$ (αντίστοιχα στο $-\infty$ ) και πλάγια και οριζόντια ασύμπτωτη. Επομένως αν έχουμε βρει ότι η $C_f$ έχει στο $+\infty$ (αντίστοιχα στο $-\infty$ ) οριζόντια ασύμπτωτη, δεν έχει νόημα να ψάχνουμε αν έχει και πλάγια ασύμπτωτη στην περιοχή αυτή ή αντίστροφα.

Η γραφική παράσταση μιας σταθερής συνάρτησης έχει οριζόντια ασύμπτωτη τον εαυτό της στο $+\infty$ και στο $-\infty.$

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=\alpha x+\beta$ με $\alpha\neq0$ , έχει πλάγια ασύμπτωτη τον εαυτό της στο $+\infty$ και στο $-\infty.$

Αποδεικνύεται ότι η γραφική παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του $2$ δεν έχει ασύμπτωτες

Αποδεικνύεται ότι η γραφική παράσταση μιας ρητής συνάρτησης

$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

όπου $P(x)$ και $Q(x)$ πολυώνυμα τέτοια, ώστε ο βαθμός του αριθμητή $P(x)$ είναι μεγαλύτερος τουλάχιστον κατά $2$ από τον βαθμό του παρονομαστή $Q(x)$ , δεν έχει πλάγιες ή οριζόντιες ασύμπτωτες.

Δεν πρέπει να έχουμε την εντύπωση ότι η οριζόντια ασύμπτωτη ή η πλάγια ασύμπτωτη δεν τέμνει τη $C_f$ . Υπάρχουν συναρτήσεις που οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνουν τις οριζόντιες ή πλάγιες ασύμπτωτες τους σε ένα ή περισσότερα σημεία ή ακόμη και άπειρα σημεία.

Αν το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης $f$ περιέχει διαστήματα της μορφής $(-\infty,\alpha)$ ή $(\beta,+\infty)$ , τότε έχει νόημα να εξετάσουμε αν η $C_f$ έχει οριζόντιες ή πλάγιες ασύμπτωτες. Εργαζόμαστε ως εξής:
ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Βρίσκουμε το όριο
$\lim_{x \to \pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lambda$
Αν $\lambda\in\rr$ , τότε βρίσκουμε και το όριο
$\lim_{x \to \pm\infty}[f(x)-\lambda x]=\beta$
Αν $\beta\in\rr$ τότε η ευθεία $y=\lambda x+\beta$ είναι ασύμπτωτη της $C_f$ (στο $+\infty$ ή στο $-\infty.)$

Παράδειγμα.
Να βρείτε τις ασύμπτωτες της συνάρτησης

$f(x)=\sqrt{x^2+2x-3}-x$

Λύση
Η συνάρτηση

$f(x)=\sqrt{x^2+2x-3}-x$

ορίζεται όταν:

$\begin{align*} &x^2+2x-3\geq0 \Leftrightarrow\\ &(x+3)(x-1)\geq0 \Leftrightarrow\\ &x\leq-3 \quad \text{ή} \quad x\geq1 \end{align*}$

Άρα η $f$ έχει πεδίο ορισμού το

$A_f=(-\infty,-3]\cup[1,+\infty)$

Εξετάζουμε αν η $C_f$ έχει ασύμπτωτη στο $+\infty,$
Απο θεωρία έχουμε

$\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lambda,$

οπότε:

$\begin{align*} &\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x^2+2x-3}-x}{x}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\Big{(}\frac{x\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}-x}{x}\Big{)}\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\Big{(}\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}-1\Big{)}=0. \end{align*}$

Άρα $\lambda = 0$ δηλαδή η γραφική παράσταση της συνάρτησης $C_{f}$ έχει στο $+\infty$ οριζόντια ασύμπτωτη και

$\dieplaystyle\lim_{x\to +\infty}\big[ f(x) -\lambda \cdot x\big] =\beta .$

$\begin{align*} &\lim_{x \to +\infty}f(x)-0\cdot x=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}(\sqrt{x^2+2x-3}-x)=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{(\sqrt{x^2+2x-3}-x)(\sqrt{x^2+2x-3}+x)}{\sqrt{x^2+2x-3}+x}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2+2x-3-x^2}{\sqrt{x^2+2x-3}+x}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{2x-3}{\sqrt{x^2+2x-3}+x}=1 \end{align*}$

Συνεπώς $\beta = 1.$
Άρα η ευθεία $y=\lambda \cdot x +\beta$ με $\lambda = 0$ και $\beta = 1$ δηλαδή η εθεία $y=1$ είναι οριζόντια ασύμπτωτη της $C_f$ στο $+\infty.$
Εξετάζουμε αν η $C_f$ έχει ασύμπτωτη στο $-\infty.$
Απο θεωρία έχουμε

$\lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lambda,$

οπότε:

$\begin{align*} &\lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\\\\ &\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{x^2+2x-3}-x}{x}=\\\\ &\lim_{x \to -\infty}\big{(}\frac{-x\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}-x}{x}\big{)}=\\\\ &\lim_{x \to -\infty}\big{(}-\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}-1\big{)}=-2 \end{align*}$

Άρα $\lambda = -2$ και

$\dieplaystyle\lim_{x\to -\infty}\big[ f(x) -\lambda \cdot x\big] =\beta .$

$\begin{align*} &\lim_{x \to -\infty}(f(x)+2x)=\\\\ &\lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2+2x-3}+x)\\ &=\lim_{x \to -\infty}\frac{(\sqrt{x^2+2x-3}+x)(\sqrt{x^2+2x-3}-x)}{\sqrt{x^2+2x-3}-x}=\\\\ &\lim_{x \to -\infty}\frac{x^2+2x-3-x^2}{\sqrt{x^2+2x-3}-x}=\\\\ &=\lim_{x \to -\infty}\frac{2x-3}{-x\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}-x}=\\\\ &\lim_{x \to -\infty}\frac{2x-3}{-x(\sqrt{1+\frac{2}{x}-\frac{3}{x^2}}+1)}=-1. \end{align*}$

Συνεπώς $\beta = -1$
Άρα η ευθεία $y=\lambda \cdot x +\beta$ με $\lambda = -2$ και $\beta = -1$ δηλαδή η εθεία $y=-2x-1$ είναι πλάγια ασύμπτωτη της $C_f$ στο $-\infty.$
Ελέγχουμε αν η συνάρτηση έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες.

$\begin{align*} &\lim_{x \to -3^-}f(x)=\\ &=\lim_{x \to -3^-}(\sqrt{x^2+2x-3}-x)\\ &=3 \end{align*}$

Άρα η $C_f$ δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη στο $-3.$

$\begin{align*} &\lim_{x \to 1^+}f(x)=\\ &=\lim_{x \to 1^+}(\sqrt{x^2+2x-3}-x)\\ &=-1 \end{align*}$

Άρα η $C_f$ δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη στο $1.$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά