ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ,Γ Λυκείου

ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=e^x\hm x+2010. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης, C_f, έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο -\infty και ότι η γραφική παράσταση C_f τέμνει τη παραπάνω ασύμπτωτη σε άπειρα σημεία.

Λύση
Η συνάρτηση

    \[f(x)=e^x\hm x+2010\]

ορίζεταιστο \rr. Έχουμε:

    \begin{align*} &\lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}= \lambda \Rightarrow\\ &\lim_{x \to -\infty}\frac{e^x\hm x+2010}{x}=\lambda \Rightarrow\\ &\lim_{x \to -\infty}\big{(}e^x\frac{\hm x}{x}+\frac{2010}{x}\big{)}=\lambda \end{align*}

Υπολόγισμός του ορίου:\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{\hm x}{x}
Ισχύει ότι:

    \[\Big{|}\frac{\hm x}{x}\Big{|}=\frac{|\hm x|}{|x|}\big{|}\leq \dfrac{1}{|x|}\]

Άρα

    \begin{align*} & \big{|}\frac{\hm x}{x}\big{|}\leq \dfrac{1}{|x|} \Rightarrow\\\\ &-\frac{1}{|x|}\leq\frac{\hm x}{x}\leq\frac{1}{|x|} \end{align*}

Επίσης έχουμε ότι:

    \[\lim_{x \to -\infty}\Big(-\frac{1}{|x|}\Big)=0 \quad \text{και} \quad \lim_{x \to -\infty}\frac{1}{|x|}=0\]

Σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής ισχύει ότι

    \[\lim_{x \to -\infty}\frac{\hm x}{x}=0\]

Επομένως είναι:

    \begin{align*} &\lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x} = \lambda \Rightarrow \\ &\lim_{x \to -\infty}\big{(}e^x\frac{\hm x}{x}+\frac{2010}{x}\big{)}=\lambda \end{align*}

Άρα \lambda =0, επομένως η γραφική παράσταση της f θα έχει στο -\infty οριζόντια ασύμπτωτη.
Οπότε

    \begin{align*} &\lim_{x \to -\infty}\big(f(x)-\lambda \cdot x\big)= \beta \Rightarrow \\ &\lim_{x \to -\infty}\big(f(x)-0 \cdot x\big)= \beta \Rightarrow \\ &\lim_{x \to -\infty} f(x)= \beta \Rightarrow \\ &\lim_{x \to -\infty}(e^x\hm x+2010)= 2010= \beta \end{align*}

Άφου, για το όριο, \displaystyle\lim_{x \to -\infty}(e^x\hm x), έχουμε ότι

    \[\big| e^{x} \hm x\big|= \big|e^{x}\big|\cdot \big |\hm x\big|\leq e^{x}\]

Άρα

    \[\big| e^{x} \hm x\big|\leq e^{x}\]

δηλαδη

    \[- e^{x}\leq e^{x} \hm x \leq e^{x}\]

Με \displaystyle\lim_{x \to -\infty}(-e^x) = 0 =\displaystyle\lim_{x \to -\infty}e^x
οπότε απο κριτήριο παρεμβολής \displaystyle\lim_{x \to -\infty}(e^x\hm x)=0.

Επομένως, η ευθεία (\epsilon): y=2010 είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C_f στο -\infty.
Για να βρούμε τα σημεία τομής της C_f και της (\epsilon) λύνουμε το σύστημα:

    \[ \left\{ \begin{tabular}{ll} $y=2010$ \\ $y=f(x)$ \end{tabular} \right. \]

Απο το οποίο προκύπτει η εξίσωση:

    \begin{align*} &2010=e^x\hm x+2010 \Leftrightarrow\\ &e^x\hm x=0 \Leftrightarrow\\ &\hm x=0 \Leftrightarrow\\ &x=2\kappa\pi, \quad \kappa\in\mathbb{Z} \end{align*}

Δηλαδή η C_{f} με f(x)=e^x\hm x+2010, τέμνει την ευθεια (\epsilon): y=2010 σε άπειρα σημεια της μορφής M(2\kappa\pi, f(2\kappa\pi)), όπως διακρίνεται στο πρόχειρο σχήμα που ακολουθεί.

Rendered by QuickLaTeX.com

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *