ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

‘Οταν έχουμε μια συνάρτηση της μορφής:

$f(x)=\kladoidyo{f_1(x)}{x\leq x_o}{f_2(x)}{x>x_o}$

Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα

$\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx$

με $\alpha<x_o<\beta$ εργαζόμαστε ως εξής:

Για να έχει νόημα το

$\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx$

πρέπει η $f$ να είναι συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ άρα και στο $x_0.$

Επίσης:

$\begin{eqnarray*} \int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx&=&\int_{\alpha}^{x_0} f(x)dx+\int_{x_0}^{\beta} f(x)dx\\ &=&\int_{\alpha}^{x_0} f_1(x)dx+\int_{x_0}^{\beta} f_2(x)dx\\ &=&... \end{eqnarray*}$

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση

$f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $2x+3, \quad x\leq1$\\ $3x^2-6x+8, \quad x>1$\\ \end{tabular} \right.$

Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

$\int_{-1}^{3} f(x)dx$

Λύση
Εξετάζουμε αν η $f$ είναι συνεχής στο 1.
Έχουμε:

$f(1)=5$

Τα πλευρικά όρια της $f(x)$ στο $x_{0}=1$ είναι:

$\lim_{x \to 1^-}f(x)=\lim_{x \to 1^-}(2x+3)=5.$

και

$\lim_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x \to 1^+}(3x^2-6x+8)=5.$

Δηλαδή:

$\lim_{x \to 1}f(x) =f(1)=5.$

Άρα η $f$ είναι συνεχής στο 1.
Επίσης η $f$ είναι συνεχής σε καθένα από τα διαστήματα $(-\infty,1)$ και $(1,+\infty)$ ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.
Επομένως η συνάρτηση είναι συνεχής στο $[-1,3].$
Άρα έχουμε:

$\begin{align*} &\int_{-1}^{3} f(x)dx=\\\\ &\int_{-1}^{1} f(x)dx+\int_{1}^{3} f(x)dx=\\\\ &\int_{-1}^{1} (2x+3)dx+\int_{1}^{3} (3x^2-6x+8)dx=\\\\ &\big{[}x^2+3x\big{]}^{1}_{-1}+\big{[}x^3-3x^2+8x\big{]}^{3}_{1}=\\\\ &(1+3)-(1-3)+(27-27+24)-(1-3+8)=\\\\ &4+2+24-6=24. \end{align*}$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά