Για να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης 
που περιέχει απόλυτη τιμή, κάνουμε χρήση του ορισμού της απόλυτης τιμής και γράφουμε τον τύπο της χωρίς το απόλυτο. Τότε η γίνεται πολλαπλού τύπου και μπορούμε να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα.
που περιέχει απόλυτη τιμή, κάνουμε χρήση του ορισμού της απόλυτης τιμής και γράφουμε τον τύπο της χωρίς το απόλυτο. Τότε η γίνεται πολλαπλού τύπου και μπορούμε να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα.
Παράδειγμα.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
![\[\int_{-1}^{3} (2|x-2|+1)dx\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0f8dee560f9e79b2de040fa79c5dd6df_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Λύση
Θα γράψουμε τη συνάρτηση
![\[f(x)=2|x-2|+1\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6dfdd122b36976f69e5ae3379387357b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής, οπότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις.
Περ.1.
Αν 
τότε είναι:
Περ.2.
Αν 
τότε είναι:
Τελικά έχουμε:
![\[f(x)=\left\{ \begin{tabular}{ll} $-2x+5, \quad x<2$\\ $\,\,\, 2x-3, \quad x\geq2$\\ \end{tabular} \right. \]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f45c3d8aec673e30bf637127f6a3252a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Η
είναι συνεχής ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Άρα το ζητούμενο ολοκλήρωμα γίνεται:
![\begin{align*} \int_{-1}^{3} f(x)dx=&\int_{-1}^{2} f(x)dx+\int_{2}^{3} f(x)dx =\\\\ &\int_{-1}^{2} (-2x+5)dx+\int_{2}^{3} (2x-3)dx=\\\\ &\int_{-1}^{2} (-x^{2}+5x)'dx+\int_{2}^{3} (x^{2}-3x)'dx=\\\\ &\big{[}-x^2+5x\big{]}^{2}_{-1}+\big{[}x^2-3x\big{]}^{3}_{2}=\\\\ &[(-4+10)-(-1-5)]+[(9-9)-(4-6)]=\\\\ &(6+6)+(0+2)=14. \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-28323927d1fbee43e63c1472bc09bdef_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .